常微分方程知识点总结

常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),,,,()(nyyyxF),,,,()1()(nnyyyxfy(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或机动目录上页下页返回结束,00ts200ddtts引例24.022ddxy—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,,)(,)(nnyxyyxyyxy—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解xxy2dd21xy引例1Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212xy特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.机动目录上页下页返回结束定义32.微分方程的解（几何意义）：。微分方程的积分曲线族的一族曲线，称它们为又是平面内族函数；②微分方程的通解是一的积分曲线。称这条曲线为微分方程又是平面的一条曲线，个函数；①微分方程的特解是一),,,,()(21ncccxyyxyy行的切线。处有平的每一条曲线在点线族中注：微分方程的积分曲中，积分曲线族为例；中，积分曲线为例),(1110022yxcxyxy转化可分离变量微分方程机动目录上页下页返回结束第二节解分离变量方程xxfyygd)(d)(可分离变量方程)()(dd21yfxfxy0)(d)(11xNxxMyyNyMd)()(22第七章分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设y＝(x)是方程①的解,xxfxxxgd)(d)())((两边积分,得xxfd)(①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.机动目录上页下页返回结束形如的方程叫做齐次方程.令,xyu代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动目录上页下页返回结束第三节齐次方程内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x及y=C机动目录上页下页返回结束3.齐次方程的求解方法:令,xyu(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P263,5(2))2)根据物理规律列方程(如:例4,例5)3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例6)(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤机动目录上页下页返回结束一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,0)(ddyxPxy若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程;机动目录上页下页返回结束是两个不同的概念与上节的“齐次方程”②本节的“齐次方程”函数均为一次函数方程中未知函数及其导注：①所谓线性，即是对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(CxexQuxxPd)(d)(两端积分得机动目录上页下页返回结束该定理易让我们想起《线性代数》中的一阶非齐次线性方程组的解的结构定理。二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:)()(dd1xQyxPxyynn令,1nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利目录上页下页返回结束内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1nyu令化为线性方程求解.2.伯努利方程机动目录上页下页返回结束思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示:xxyyydd1可分离变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方程机动目录上页下页返回结束可降阶高阶微分方程机动目录上页下页返回结束第五节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第七章解法：降阶一、)()(xfyn令,)1(nyz因此1d)(Cxxfz即同理可得2)2(dCxynxd依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.21CxC型的微分方程机动目录上页下页返回结束既不含未知函数y,也不含未知函数的导数解法:连续积分n次，便得通解。),(yxfy型的微分方程设,)(xpy原方程化为一阶方程设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy二、机动目录上页下页返回结束即含自变量x,不含未知函数y三、),(yyfy型的微分方程令),(ypyxpydd则xyypdddd故方程化为设其通解为),,(1Cyp即得分离变量后积分,得原方程的通解机动目录上页下页返回结束即含有未知函数y,不含自变量x内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令,)(xpy令,)(ypy机动目录上页下页返回结束思考与练习1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.例6例7机动目录上页下页返回结束n阶线性微分方程的一般形式为方程的共性为二阶线性微分方程.例1例2,)()()(xfyxqyxpy—可归结为同一形式:)()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn时,称为非齐次方程;0)(xf时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解齐次方程通解Yy0)(xf机动目录上页下页返回结束])[(11yCxP][)(11yCxQ0证毕二、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边,得][11yC22yC22yC22yC])()([1111yxQyxPyC])()([2222yxQyxPyC(叠加原理))()(2211xyCxyCy则定理1.机动目录上页下页返回结束是不是所给二阶方程的通解？)()(2211xyCxyCy问题：说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解！但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.机动目录上页下页返回结束定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数机动目录上页下页返回结束两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使1221)()(kkxyxy(无妨设)01k线性无关)()(21xyxy常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关(证明略)线性无关机动目录上页下页返回结束定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则)()(2211xyCxyCy数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y机动目录上页下页返回结束三、线性非齐次方程解的结构)(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将)(*)(xyxYy代入方程①左端,得)*(yY)*()(yYxP))()((YxQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ②①复习目录上页下页返回结束)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解xCxCYsincos21对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.机动目录上页下页返回结束定理4.分别是方程的特解,是方程),,2,1()()()(nkxfyxQyxPyk)()()(1xfyxQyxPynkk的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.机动目录上页下页返回结束定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程)()(xyxY是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动目录上页下页返回结束*四、常数变易法复习:常数变易法:)()(xfyxpy对应齐次方程的通解:)(1xyCyxxpexyd)(1)(设非齐次方程的解为)(1xyy代入原方程确定).(xu对二阶非齐次方程)()()(xfyxQyxPy情形1.已知对应齐次方程通解:)()(2211xyCxyCy设③的解为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv③))(),((21待定xvxv由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:④)(xu机动目录上页下页返回结束2211vyvyy2211vyvy⑤,,21vvy中不含为使令02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy将以上结果代入方程①:2211vyvy1111)(vyQyPy)()(2222xfvyQyPy得)(2211xfvyvy⑥故⑤,⑥的系数行列式02121yyyyW21,yy是对应齐次方程的解,,21线性无关因yyP10目录上页下页返回结束fyWvfyWv12211,1积分得:)(),(222111xgCvxgCv代入③即得非齐次方程的通解:)()(22112211xgyxgyyCyCy于是得说明:将③的解设为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一个必须满足的条件即方程③,因此必需再附