高中数学竞赛专题讲义之概率统计

概率、统计【知识精要】1．排列、组合问题的基本原理：加法（分类）和乘法（分步）原理。解决此类问题常见要点：（1）不重复，不遗漏；（2）正面考虑比较麻烦时，考虑间接法；（2）特殊位置、元素优先考虑；（3）转化思想，对于陌生问题，尽量转化为熟悉模型。2．隔板法模型：将m个名额分给k个人()mk，每人至少一个的方法是11kmC；引申1：方程12kxxxm(1,,)iixxZmZ的解有11kmC组；引申2：方程12kxxxm(0,,)iixxZmZ的解有11kmkC组。3．解决概率问题，必须对等可能事件、互斥事件、相互独立事件的模型要了如指掌。【例题精讲】+【习题精练】例1：3个人传球，由甲发球，5次传球之后，仍回到甲手中，有多少种传球方法？解：将问题转化为右图填图问题。中间可能有甲或无甲，则有1122222210CCAA种不同的传球方法。练习1：（2000全国高中数学联赛12题）如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};(2)ab,bc,cd,da;(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________.解：当abcd恰有2个不同数字时，共组成246C种不同数字；当abcd恰有3个不同数字时，共组成34(211)16C种不同数字；当abcd恰有2个不同数字时，共组成246C种不同数字；所以总共有6+16=6=28种。例2：使直线1axby和圆2250xy只有整数公共点的有序实数对(,)ab的个数为：（）A、72B、74C、78D、82解：第一象限圆上有(7,1),(5,5),(1,7)三个整点，故平面上共有12个整点，分割线或切线，共有2121278C条，但该直线不过原点，应减去6条，故共有72条，选A。练习2：（05年江苏高中数学竞赛）由三个数字1、2、3组成的5位数中,1、2、3都至少出现1次,这样的5位数共有.解：150在5位数中,若1只出现1次，有11235444()70CCCC个；若1只出现2次，有212533()60CCC个；若1只出现3次，有315220CC甲甲个．则这样的五位数共有150个．故填150个。例3：（2005全国高考试题改编）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，任选两条为异面直线的概率是：。解：全部情况有215105C种，记“15条直线中任选两条为异面直线”为事件A，而要使两直线异面，只需四点不共面，且不共面的四点可连成3组异面直线，则事件A的可能情况有463(3)36C种，故3612()10535PA。即任选两条为异面直线的概率为1235。练习3：（02年全国联赛题改编）已知点1021,,,PPP分别是四面体的顶点或棱的中点，那么四点组),,,(1kjiPPPP（101kji）在同一平面上的概率为．解：全部的基本事件有3984C种，记“四点组),,,(1kjiPPPP（101kji）在同一平面”为事件A，可能的情况有（1）从四个面选，有35330C种；（2）含1P的每条棱上三个点与它异面的棱的中点组成四点共面，有三种情况。故事件A有30+3=33种不同结果。所以3311()8428PA。例4：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B的底面积均为2x，高分别为yx,；C、D的底面积均为2y，高也分别为yx,（其中xy的概率为0.6）.现规定一种甲乙两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜，如果盛水相同则先取者负，甲在未能确定x与y大小的情况下先取了A，然后随机又取了一个，那么甲先取时胜乙的概率有多大？解：依题意可知,A、B、C、D四个容器的容积分别为3223,,,yxyyxx，按照游戏规则，甲先取A，则只有三种不同的取法：①取A、B；②取A、C；③取A、D.问题的实质是比较两个容器和的大小.①若先取A、B，则后取者只能取C、D.2223223yxyxyxyyxxyxyyxx，显然02yx∴当yx时，02yxyx，这时甲才胜.②若先取A、C，则后取者只能取B、D.2222223223yxyxyxyyxxyyxxyx，显然022yx∴当yx时，022yxyx，这时甲才胜.③若先取A、D，则后取者只能取B、C.2222222332)(yxyxyxyxyxyxxyyxyxyxxyyxyx又,0,0,yxyx∴2yxyx0,即先取A、D时，甲必胜.甲先取A再取B或C的事件发生的概率为312412CC,且yx的概率为1-0.6=0.4，此时甲胜的概率为1524.031.同样，若甲先取A再取D的事件发生的概率为61，此时甲胜的概率为61所以，甲取胜的概率为61+152=103.练习4：猎人在距离100米时开始射击野兔，命中率是0.5。如果第一次未射中，则进行第二次射击，但此时射击距离为150米。如果第二次未射中，则进行第三次射击，但此时射击距离为200米。若第三次未射中，则不再射击，已知猎人命中概率和距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率。解：设三次射击为事件,,ABC。2()0.5,()kpAPxx，令100x，则5000,k所以225000250001(),()15092008PBPC，故命中野兔概率为11217195()()()229298144PAPABPABC。例5：（2005全国高中数学联赛）如果自然数a的各位数字之和为7，那么称a为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列1234,,,,,aaaa若2005na，则5na。解：设12kxxx为k为吉祥数，11,0(2,3,,)ixxik，则127kxxx（1）令11yx，1(2,3,,)iiyxik，则（1）为1236kyyyyk（2）方程（2）的正整数解的个数即为k为吉祥数的个数，记为()Pk利用隔板法有()Pk1655kkkCC个。而2005是形如2342xxx的数中最小的吉祥数，且(1)1,(2)7,(3)28.PPP对于四位吉祥数2341xxx，其个数为满足2346xxx的非负整数解的个数，即6828C个，故2005是第172828165个吉祥数，即65n，则5325n，又66910(4)84,(5)210PCPC，所以51()172884210330kPk。而5位吉祥数中最后的5个倒过来依次为70000，61000，60100，60010，52000，则第325个吉祥数为52000，即5na52000。练习5：从数1,2,3,,14中，按从小到大的排序取出123,,aaa三个数，且21323,3aaaa，则符合条件的不同取法有多少种？解：显然121323()()(14)14aaaaaa，其中1213231,3,3,140aaaaaa，将方程变形为：121323(2)(2)(15)11aaaaaa，此时1213231,21,21,151aaaaaa，由隔板法有不定方程有310C种不同正整数解，从而符合要求的不同取法共有310C=120种。