20202021学年高中数学第1章立体几何初步5平行关系51平行关系的判定教师用书教案北师大版必修2

-1-§5平行关系5．1平行关系的判定学习目标核心素养1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义，会判断线面、面面平行．(重点)2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．(重点、易错点)3．能运用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理证明空间线面关系．(难点)1.通过理解线面、面面平行的判定定理，培养直观想象数学抽象素养．2．通过运用判定定理证明空间线面关系，提升逻辑推理素养.1．直线与平面平行的判定定理定理表示直线与平面平行的判定定理文字叙述若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行符号表示lαl∥bbα⇒l∥α图形表示思考1：若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？提示：由线面平行的判定定理知，该结论错误．应是平面外的一条直线．2．平面与平面平行的判定定理定理表示平面与平面平行的判定定理文字叙述如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行-2-符号表示aαbαa∩b＝Aa∥βb∥β⇒α∥β思考2：如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？提示：不一定．这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内．1．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．bα，a∥bB．bα，c∥α，a∥b，a∥cC．bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．aα，bα，a∥bD[若bα，a∥b，则a∥α或aα，故A错；若bα，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或aα，故B错；若bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD，则a∥α或aα，或a与α相交，故C错；而D项是线面平行的判定定理不可缺少的三个条件．]2．正六棱柱的底面和侧面中互相平行的面有()A．1对B．2对C．3对D．4对D[正六棱柱两底面互相平行，六个侧面中，相对的侧面互相平行，故共有4对互相平行的面．]3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上都不对C[当每个平面内的两条直线都是相交直线时，可推出两个平面一定平行，否则，两个平面有可能相交．]4．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是AB的中点，则和平面C1D1E平行的棱为________．-3-CD和A1B1[∵CD∥C1D1且C1D1平面C1D1E，CD平面D1C1E，故CD∥平面C1D1E，同理A1B1∥平面C1D1E，而AB虽然与C1D1平行，但AB平面C1D1E.]线面平行的判定【例1】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.[证明]连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.又A1B平面ADC1，OD平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．[跟进训练]1．如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.[证明]连接AC交BD于点O，连接MO，-4-∵M为SC中点，O为AC中点，∴MO∥SA.又SA平面MDB，MO平面MDB，∴SA∥平面MDB.面面平行的判定【例2】已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.[证明]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，∵BC平面PBC，MQ平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.1．要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．[跟进训练]2.如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1，D是BC的中点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.-5-[证明]连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．连接ED，则ED是△A1BC的中位线，∴ED∥A1B.∵ED平面A1BD1，A1B平面A1BD1，∴ED∥平面A1BD1.∵C1D1綊BD，∴四边形BDC1D1是平行四边形，∴C1D∥BD1.∵C1D平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴C1D∥平面A1BD1.又C1D∩ED＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.线面平行、面面平行判定定理的综合应用[探究问题]1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，试判断直线EG与平面BDD1B1是否平行？提示：连接SB(图略)，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.2．在上述问题中，平面EFG∥平面BDD1B1吗？提示：平行．连接SD，-6-∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，∵EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.【例3】如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.[思路探究](1)由于N为PC的中点，故可取PD的中点H，证明四边形MNHA为平行四边形，进而利用判定定理证明MN∥平面PAD.(2)若平面MNQ∥平面PAD，又M为AB的中点，从而可确定Q的位置．[解](1)证明：如图，取PD的中点H，连接AH，NH.由N是PC的中点，知NH∥DC，NH＝12DC.由M是AB的中点，知AM∥DC，AM＝12DC，∴NH∥AM，NH＝AM，∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH.-7-∵MN平面PAD，AH平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)若平面MNQ∥平面PAD，则应有MQ∥PA，∵M是AB中点，∴Q是PB的中点，即当Q为PB的中点时，平面MNQ∥平面PAD.将证明面面平行问题转化为线面平行问题，而将证线面平行问题，转化为线线平行问题.在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系的相互转化，可使问题顺利得到解决.熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口，这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视.[跟进训练]3．在三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．[解]如图，取线段AB的中点为M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD∥AC且MD＝12AC，OE∥AC且OE＝12AC，因此MD∥OE且MD＝OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.-8-1．判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．(2)判定定理法：aα，bα，a∥b⇒a∥α.(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质．(2)利用平行四边形的性质．(3)利用平行线分线段成比例定理．3．证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．1．思考辨析(1)若一条直线与一个平面内无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行．()(2)若平面α内有无数条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行．()(3)若平面α内的任意一条直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行．()[解析](1)×，此直线也可能在平面内．(2)×，两平面也可能相交．[答案](1)×(2)×(3)√2．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是________．平行或相交[∵a∥平面α，∴a与平面α没有公共点，若bα，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能，∴b∥α或b与α相交．]3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.①②④[如图，∵四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，故①④正确；又AD1与DC1为异面直线，故③错误；又由B1D1∥BD，可知②正确．]-9-4．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别是AB，PD的中点．求证：AF∥平面PCE.[证明]取PC的中点M，连接ME，MF，则FM∥CD且FM＝12CD.又∵AE∥CD且AE＝12CD，∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形，∴AF∥ME.又∵AF平面PCE，EM平面PCE，∴AF∥平面PCE.