20202021学年高中数学第2章解析几何初步1直线与直线的方程12第1课时直线方程的点斜式教师用书

-1-1．2直线的方程第1课时直线方程的点斜式学习目标核心素养1.掌握直线方程的点斜式．(重点)2.了解直线在y轴上截距的概念．(易混点)3.了解斜截式与一次函数的关系．(难点)1.通过学习直线的点斜式、斜截式方程，培养数学抽象素养.2.通过求解直线的点斜式、斜截式方程，提升数学运算素养.1．直线的点斜式和斜截式方程(1)直线的方程：如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程．①直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程；②满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上．(2)直线的点斜式和斜截式方程名称点斜式斜截式已知条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b适用范围斜率存在思考1：直线的点斜式方程能否表示平面内所有的直线？提示：不能．不能表示倾斜角为90°的直线．2．直线l的截距(1)在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标．(2)在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的横坐标．思考2：直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗？提示：直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数．1．过点P(－2,0)，斜率是3的直线的方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2-2-C．y＝3(x－2)D．y＝3(x＋2)[答案]D2．直线方程为y＋2＝2x－2，则()A．直线过点(2，－2)，斜率为2B．直线过点(－2,2)，斜率为2C．直线过点(1，－2)，斜率为12D．直线过点(1，－2)，斜率为2D[把直线方程写成点斜式方程y－(－2)＝2(x－1)，故直线过点(1，－2)，斜率为2.]3．直线y－2＝－3(x＋3)的倾斜角是________，在y轴上的截距是________．120°2－33[因为直线斜率为－3，所以倾斜角为120°.又因为x＝0时，y＝2－33，∴在y轴上的截距是2－33.]直线的点斜式方程【例1】根据条件写出下列直线方程的点斜式．(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；(2)经过原点，倾斜角为60°；(3)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°.[解](1)直线斜率为tan45°＝1，∴直线方程为y－4＝x＋1.(2)直线斜率为tan60°＝3，∴所求直线的方程为y－0＝3(x－0)．(3)直线斜率为0，∴直线方程为y－1＝0×(x＋1)．1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但斜率不存在的直线除外．[跟进训练]1．(1)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．(2)斜率为32，与x轴交点的横坐标为－7的直线的点斜式方程为________．(1)x＋y－1＝0(2)y－0＝32(x＋7)[(1)k＝tan135°＝－1，由直线的点斜式方程得y－2-3-＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点(－7,0)．又斜率为32，所以所求直线的点斜式方程为：y－0＝32(x＋7)．]直线方程的斜截式【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.[解](1)由直线方程的斜截式可知，所示直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－33，由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1．已知直线的斜率或直线与y轴的交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距．[跟进训练]2．根据条件写出下列直线方程的斜截式．(1)经过点A(3,4)，在x轴上的截距为2；(2)斜率与直线x＋y＝0相同，在y轴的截距与直线y＝2x＋3的相同．[解](1)法一：易知直线的斜率存在，设直线方程为y＝k(x－2)，∵点A(3,4)在直线上，∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8，-4-∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)，则直线的斜率k＝4－03－2＝4，由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8，∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.(2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1，直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3，所以所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3.点斜式、斜截式的应用[探究问题]1．已知直线l：y＝k(x－1)＋2不经过第二象限，如何求k的取值范围？提示：由l的方程知l过定点A(1,2)，斜率为k，则kOA＝2(O为坐标原点)，如图所示，数形结合可知，k≥2时满足条件．2．直线l的斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12，请求出直线l的方程．提示：设直线l的方程为y＝34x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－43b，∴|b|＋－43b＋53b＝12，解得b＝±3，∴所求的直线方程为y＝34x±3.【例3】已知直线l经过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．[思路探究]先判断直线的斜率一定存在，设出直线方程的点斜式或斜截式，再去构造方程求解．[解]显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－3k－2，于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为122k＋3－3k－2＝4，-5-即(2k＋3)3k＋2＝±8.若(2k＋3)3k＋2＝8，则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解．若(2k＋3)3k＋2＝－8，则整理得4k2＋20k＋9＝0，解之，得k＝－12或k＝－92.所以直线l的方程为y－3＝－12(x＋2)或y－3＝－92(x＋2)，即y＝－12x＋2或y＝－92x－6.1．若将本例中“直线l经过点P(－2,3)”改为“直线l的斜率为－2”，其它条件不变，求直线l的方程．[解]设直线方程为y＝－2x＋b，则令x＝0得y＝b；令y＝0得x＝b2；由题意得，12|b|·b2＝4，即|b|2＝16.所以b＝±4.所以直线l的方程为y＝－2x＋4或y＝－2x－4.2．若将本例中“且与两坐标轴围成的三角形的面积为4”改为“且在两坐标轴上的截距相等”，求直线l的方程．[解]依题意直线的斜率存在，设为k，直线方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0得纵截距为y＝2k＋3.令y＝0得横截距为x＝－3k－2，依题意得，2k＋3＝－3k－2，解得k＝－32或k＝－1，所以直线方程为y＝－32x或y＝－x＋1.1直线方程的斜截式y＝kx＋b清晰地指出了该直线的两个几何要素：斜率k和截距b.2已知一点的坐标，求过该点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定斜率；-6-已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距，无论采用哪种方式，在求解过程中待定系数法是求解该类问题的常用方法.1．对直线的点斜式方程的认识(1)应用条件：①一个定点P(x0，y0)；②有斜率k.(2)局限性：直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，这时直线方程为：x－x0＝0或x＝x0.(3)方程特点：当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．2．对“截距”概念的理解直线y＝kx＋b中的b叫直线在y轴上的截距，也可称为直线的截距，即当x＝0时y＝b.所以直线在y轴上的截距为其与y轴的交点的纵坐标，不是直线与y轴的交点到坐标原点的距离．3．直线方程的斜截式与一次函数解析式的关系(1)斜截式方程中，k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，k＝0时，y＝b不是一次函数．(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方程．1．思考辨析(1)点斜式y－y1＝k(x－x1)只适用于不平行于x轴且不垂直于x轴的任何直线．()(2)斜截式y＝kx＋b适用于不垂直于x轴的任何直线．()(3)y－y1x－x1＝k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线的方程．()[解析](1)×，点斜式y－y1＝k(x－x1)适用于平行x轴的直线，所以(1)错．(2)√，正确．(3)×，y－y1x－x1＝k中不含点P1(x1，y1)，所以不能表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线，因此(3)错．[答案](1)×(2)√(3)×2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k0，b0B．k0，b0C．k0，b0D．k0，b0B[∵直线经过一、三、四象限，-7-∴如图所示，则由图知，k0，b0.]3．斜率为4，且经过点(2，－3)的直线方程是________．y＋3＝4(x－2)[由直线的点斜式方程可得y＋3＝4(x－2)．]4．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过点P(3,3)，则直线l的方程为________．x＝3[直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过点P(3,3)，所以直线l的方程为x＝3.]