切比雪夫滤波器设计

切比雪夫滤波器设计巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种类型：振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的称为切比雪夫I型滤波器；振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图1和图2分别画出了N为奇数、偶数时的切比雪夫I、II型滤波器的频率特性。1、切比雪夫I型滤波器的基本特点现在介绍切比雪夫I型滤波器的设计，切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为22221()()1NAHjc为小于1的正数，表示通带内振幅波动的程度。越大，波动也越大。/p为对截止频率p的归一化频率，p为截止频率，也是滤波器的通带带宽（注：切比雪夫滤波器的通带带宽并不一定是3dB带宽）。()NCx是N阶切比雪夫多项式，定义为()Hjps/p2110N为奇数(a)1()Hj2110N为偶数(b)1图1切比雪夫I型滤波器的振幅特性（a）N=3，2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性（b）N=4，2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性()Hj2110N为奇数(a)1()Hj2110N为偶数(b)1图2切比雪夫II型滤波器的振幅特性ps/pps/pps/p11cos()01()()1NNcosxxCxchNchxx其中1cos()x为反余弦函数；()chx为双曲余弦函数；1()chx为反双曲余弦函数；它们的定义如下所示2xxeechx12()()ln(1)chxarcchxxx上式可展开为多项式的形式如表1所示：由表1可归纳出各阶切比雪夫多项式的递推公式为11()2()()NNNCxxCxCx图3示出了N=0，4，5时切比雪夫多项式的特性。由图3可见：1.切比雪夫多项式的零值在01x的间隔内。2.当x1时，()1NCx，且具有等波纹幅度特性。3.在1x的区间外，()NCx是双曲余弦函数，随着x而单调增加。再看函数22()NCx，是小于1的实数，22()NCx的值在1x之内，将在0至2之间改变。而221()NCx的函数值在1x之内，将在1至21之间改变。然后将221()NCx取倒数，即可得切比雪夫I型滤波器幅度平方函数。根据以上所述，在1，2()Hj在接近1处振荡，其最大值为1，最小值为211。在此范围之外，随着增大，22()1NC，则2()Hj很快接近于零。图5-7画出了切比雪夫I型滤波器振幅特性曲线，从中可以看出：振幅特性()Hj的起伏为1～211，因2(1)1NC，所以在1p时，21()1Hj，即切比雪夫I型滤波器的截止频率并不对应3dB的衰减。N()NCx011x2221x3343xx442881xx表1切比雪夫多项式1-11()NCx4()Cx5()Cx0()Cxx图3切比雪夫多项式曲线02、切比雪夫I型滤波器设计方法要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数，需要确定三个参数：,c及N。下面研究如何确定这三个参数，具体步骤如下：(1)将实际频率归一化得1ppp，ssp再根据已知的p，s，幅度平方函数2221|()|1()NHjC确定和N。(2)确定和N。定义通带波纹(即通带衰减)()（以分贝为单位）为：2221()10lg10lg1()()NCHj代入p，p，s，s得222210lg10lg1()1()NppNssCC即22221010221()10()1011()NpNSpssCCchNch因为1p，2(1)1NC，所以210101p1010212210101101()101sspschNcha则11()()schaNch其中1010101101spa这样可以求出和N，其中12()ln1chxxx。3、综上所述，设计切比雪夫低通滤波器的基本步骤如下：（1）计算归一化频率1ppp，ssp。（2）根据通带波纹（通带衰减）pdb，按照210101p式计算；（3）根据阻带起始频率s，阻带衰减s和。按照11()()schaNch其中1010101101spa式计算滤波器的阶数N；（4）根据滤波器阶数N，查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数()Hp；根据()Hp的低频特性求出待定系数0d，注：当N为偶数时，21(0)1H；当N为奇数时，(0)1H。（5）去掉归一化影响根据截止频率p，按照()()SppHsHp式计算切比雪夫滤波器的系统函数()Hs；4、举例说明已知通带波纹为1db，截止频率0.3/prads，阻带截止频率0.5/srads，阻带衰减大于15db，试设计满足上述性能指标的切比雪夫Ⅰ型低通滤波器。解：已知0.3p，1pdB，0.5s，15sdB（1）计算归一化频率1ppp，1.6667ssp。（2）计算。20.1101011010.2589p（3）计算滤波器的阶数N；1.5100.11010110110.8757101101spa1111()(10.8757)2.8013()(1.6667)schachNchch选定N=3。（4）根据滤波器阶数N，查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数()Hp；32()0.98831.23840.4913KHpppp因为当N为奇数时，(0)1H即(0)0.49131HK所以0.4913K（5）去掉归一化影响320.0133()()0.29650.11150.0133SppHsHpsss