非线性规划和多目标规划模型

数学建模—从自然走向理性之路2/43【主要内容】介绍非线性规划模型和多目标规划模型的主要特点和求解。【主要目的】了解非线性规划问题和多目标规划问题的建模与求解，重点在模型的建立与结果的分析第5讲非线性规划和多目标模型3/43`非线性规划模型(NonlinearProgramming)建立模型非线性规划问题：目标函数或约束条件组中有一个或一个以上是变量的非线性函数。非线性规划问题的一般描述为：min(),()0,1,2,,..()0,1,2,,nijfXXRgXimsthXjlLL第5讲非线性规划和多目标模型4/43非线性规划问题求解非线性规划问题的最优值不一定在可行域的边界达到；一般求的是局部最优解，但局部最优解并不一定是全局最优解迭代法是主要求解方法:通常从一个初始解出发，在可行域中沿着使得目标函数降低的方向前进到下一个解。一般求解方法：罚函数法，拉格朗日乘子法，近似规划法等,或者采用智能算法，如：遗传算法，模拟退火算法，蚁群算法等。第5讲非线性规划和多目标模型5/43在建模过程中，应该尽量建立线性规划模型而避免非线性规划模型。如对于问题作变换显然11min..nixstAxb,22iiiiiixxxxuv0,0iiuv第5讲非线性规划和多目标模型6/43且相应的原非线性规划问题变换为：1min()()..0,0,1,2,,niiiiiiiuvAuvbstuvinLiiiiiixuvxuv第5讲非线性规划和多目标模型7/43例1飞行管理问题（CUMCM95A)在高空中一个边长为160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，要立即计算并判断其是否会与区域内的飞机碰撞。如果会碰撞，则要计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；每架飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；所有飞机飞行速度均为800公里/小时；第5讲非线性规划和多目标模型8/43欲进入飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；最多需考虑6架飞机；不必考虑飞机离开此区域后的状况。请你建立数学模型，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。第5讲非线性规划和多目标模型9/43第5讲非线性规划和多目标模型飞行管理视频1.wmv10/43模型建立与求解模型一：设第i架飞机在调整时的方向角为θi,调整角度为Δθi（i＝1，2，…，6）。任意两架飞机在区域内的t时刻最短距离为dij(θi,θj,t)，那么问题的非线性规划模型为目标函数也可以定义为61minii..(,,)8ijiijjstdtij6i16minmaxii第5讲非线性规划和多目标模型11/43我们来简单看一下其复杂程度（1）区域内飞行时间：假设飞行角度为θi’=θi+Δθi（2）计算任意飞机在t时刻两者的距离：000'''''00000'''''0000'''''03,0,tan2,tan,22cos,0,tan,tan,22sin3,,tan,tan22cosiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiDxDyyiforvDxDxDxDyDyiforvDxxTxDyiforvx00000'''''00,33,,tan2,tan22siniiiiiiiiiiiiyxyyyiforvxDx2002002(,,)(cos()cos())(sin()sin())ijiijjiiijjjiiijjjdtxvtxvtyvtyvt第5讲非线性规划和多目标模型12/43整理后，距离可写成：其中：这样不碰撞约束条件就变为：00000020022sin22()sin()cos22()()64iijjijiijjiijjijjiijijijijzvtbxxyycxxyy22()()64.ijijijijijijftdtzbzc()0,min(,),ijijfttTTij第5讲非线性规划和多目标模型13/43为转化成线性问题，换一个角度看不相撞条件不相撞条件：ijijijijij第5讲非线性规划和多目标模型14/43原非线性规划问题转化为上述模型相比原非线性规划模型，约束条件进行了极大简化，但仍然难以直接做到线性化。61minii..,2ijijijijijst6i第5讲非线性规划和多目标模型15/43此变量可直接计算得到。由于上述公式中的取值为[-π，π]，为了将上述值变换到[02π]之间，取进一步考虑到角度的周期性，不碰撞的约束条件可写成：sin-sin-arctan-arctancos-cos-ijjiijijjiyyxxij'(2)(mod2)ijij'2ijijijij第5讲非线性规划和多目标模型16/4316最终，原非线性规划问题转化为引入即则原问题可转化为线性规划问题。61minii,1,2,,66iiL'1()2,,,1,2,,62ijijijijijijL,22iiiiiiuviiiiiiuvuv第5讲非线性规划和多目标模型17/43第5讲非线性规划和多目标模型飞行管理视频2.wmv18/43例2钢管订购与运输（2000B）由钢管厂订购钢管，经铁路、公路运输，铺设一条钢管管道1215AAALA1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7管道铁路公路S1~S7钢管厂火车站（沿管道建有公路）第5讲非线性规划和多目标模型19/43问：如何制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小假设已知每个钢厂Si的订购范围为[500,si]单位，单位销售价格为pi，并且已知铁路单位运价为u，公路单位运价为v。并且铺设管道的每一段长度lj也已知。进一步假设已经计算得到每个钢厂Si运送到每个钢管铺设节点Aj的最小费用cij（最短路算法），当然知道了最小费用也就知道了运送路线第5讲非线性规划和多目标模型20/43模型建立设钢厂Si运送到钢管铺设节点Aj的钢管运量为xij，对于每个钢管铺设节点Aj，其向左向右分别铺设量为yj和zj，则从Aj向左向右铺设的公路运输距离分别为1+…+yj=yj(yj+1)/2和1+…+zj=zj(zj+1)/271515111151711115min()((1)(1))2..{0}[500,],1,2,,7,1,2,,15,1,2,,140,0,0,0,0,1,2,,7,1,2,,15iijijjjjjijjijijijjjijjjijjjvpcxzzyystxsixzyjzyljyzxzyijLLLLL二次规划第5讲非线性规划和多目标模型21/43引入0-1变量设wi表示钢厂Si是否进入到钢管采购厂商中，则上述模型可变为71515111151711115min()((1)(1))2..500,1,2,,7,1,2,,15,1,2,,140,0,0,0,0,1,2,,7,1,2,,15{0,1}iijijjjjjijjiijiijijjjijjjijjjivpcxzzyystwxswixzyjzyljyzxzyijwLLLLL第5讲非线性规划和多目标模型22/43注记：（1）非线性规划中非线性部分的处理是体现创新的源头也是问题求解最关键的部分；（2）巧妙的决策变量的设计或充分挖掘问题中隐藏的约束和条件往往能起到四两拨千斤的作用；（3）充分利用模型特点，制定有针对性的求解方法能有效缓解非线性所带来的困扰。第5讲非线性规划和多目标模型23/43多目标规划模型多目标规划问题：存在多个目标函数的带约束规划问题。往往需要对多个目标进行权衡处理。多目标规划问题的一般描述为：1min()min(),,(),2()0,1,2,,()0,1,2,,..pijnFXfXfXpgXimhXjlstXRLLL第5讲非线性规划和多目标模型24/43多目标规划问题求解多目标规划问题中多个目标可能存在以下特点：（1）存在优先级；（2）存在冲突和矛盾（3）量纲不一样（4）数量级不一样求解多目标规划问题的主要思路是转化为单目标规划问题。第5讲非线性规划和多目标模型25/43多目标转化为单目标方法（1）评价函数法；（2）功效系数法；（3）约束法；（4）分层序列法；（5）极小极大法。第5讲非线性规划和多目标模型26/43评价函数法基本思想：构造一个关于所有目标F(X)的评价函数，以此作为目标函数构造单目标规划模型。（1）线性权和法（2）均方加权法其中为的下界。1min()min()piiiFXfX12021min()min(())piiiiFXfXf0ifmin()ifX第5讲非线性规划和多目标模型27/43乘除法：目标函数中存在最大、最小值情况下：设为求最小值，而为求最大值，且设：定义单目标函数注意问题：数量级、量纲1(),,()kfXfXL(),1,2,,()1,1,,()iifXikfXikpfXLL()0,1,2,,ifXipL1min()piifX1(),,()kpfXfXL第5讲非线性规划和多目标模型28/43功效系数法基本思想：对每个目标构造一个功效函数反映逼近其最优目标的程度以此构造单目标。设构造功效函数定义单目标：max(),min()iiiiXRXRfXffXf1,()(())0,()1(())/(),()iiiiiiiiiiiiiifXfddfXfXffXfffffXf1max(())piiidfX第5讲非线性规划和多目标模型29/43约束法基本思想：对多个目标选定一个主要目标，而对其它目标设定期望值，在要求结果不比期望值小的情况下，求主要目标的最优值。1120022min()min{(),(),,()}(),,()XDpppfXfXfXfXfXffXfLL第5讲非线性规划和多目标模型30/43分层序列法基本思想：将多个目标按重要度排序，逐级构造每个目标在上级目标达到最优条件下的单目标规划问题序列，以此直到获得最后一个目标的最优值。*11*11*11*22{|()}12*{|()}(1):min()(2):min()min{(),(),,()}():min()ppXDXDXfXfpppXDXfXfffXffXfXfXfXpffXLL第5讲非线性规划和多目标模型31/43极小极大法基本思想：采用悲观主义决策，在最不利的情况下找出最有利的策略。定义目标函数：此方法也存在数量级的问题。1min()minmax()jXDjpFXfX第5讲非线性规划和多目标模型32/43例3投资的收益与风险