20202021学年高中数学第1章三角函数阶段综合提升第1课蝗制任意角三角函数教师用书教案新人教A版

-1-第1章三角函数第一课弧度制、任意角三角函数[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]象限角及终边相同的角【例1】已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈－π2，π2.[解](1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋14π9，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋14π9，k∈Z.又γ∈－π2，π2，∴－π2＜2kπ＋14π9＜π2，k∈Z，-2-解得k＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.1．灵活应用角度制或弧度制表示角．(1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用．(2)角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·180π°，n°＝n·π180rad.2．象限角的判定方法．(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．[跟进训练]1．在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角．[解](1)与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z)．由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.弧度制下扇形弧长及面积公式的计算【例2】已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[解](1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝π3，R＝10，∴l＝αR＝10π3cm.S弓＝S扇－S△＝12×10π3×10－12×10×10×cosπ6＝50π3－32cm2.-3-(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝c－2RR，∴S扇＝12αR2＝12·c－2RR·R2＝12(c－2R)R＝－R2＋12cR＝－R－c42＋c216.当且仅当R＝c4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c216.弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略：1明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角；2涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.[跟进训练]2．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．[解]∵120°＝120180π＝23π，∴l＝6×23π＝4π，∴AB的长为4π.∵S扇形OAB＝12lr＝12×4π×6＝12π，如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝12×AB×OD＝12×2×6cos30°×3＝93.∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－93.∴弓形ACB的面积为12π－93.任意角三角函数的定义-4-【例3】(1)若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝34，则a的值为()A．43B．±43C．－43或－433D.3(2)已知角α的终边经过点P(12m，－5m)(m≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．(1)C[因为角α的终边上有一点P(－4，a)，所以tanα＝－a4，所以sinαcosα＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝－a4－a42＋1＝34，整理得3a2＋16a＋163＝0，(a＋43)(3a＋4)＝0，所以a＝－43或－433.](2)r＝12m2＋－5m2＝13|m|，若m＞0，则r＝13m，α为第四象限角，sinα＝yr＝－5m13m＝－513，cosα＝xr＝12m13m＝1213，tanα＝yx＝－5m12m＝－512.若m＜0，则r＝－13m，α为第二象限角，sinα＝yr＝－5m－13m＝513，cosα＝xr＝12m－13m＝－1213，tanα＝yx＝－5m12m＝－512.利用定义求三角函数值的两种方法.1先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值.2取角α的终边上任意一点Pa，b原点除外，则对应的角α的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝，正切值tanα＝\f(b,a).当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.-5-[跟进训练]3．已知角α的终边在直线y＝3x上，求sinα，cosα，tanα值．[解]因为角α的终边在直线y＝3x上，所以可设P(a，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点．则r＝a2＋3a2＝2|a|(a≠0)．若a＞0，则α为第一象限角，r＝2a，所以sinα＝3a2a＝32，cosα＝a2a＝12，tanα＝3aa＝3.若a＜0，则α为第三象限，r＝－2a，所以sinα＝3a－2a＝－32，cosα＝－a2a＝－12，tanα＝3aa＝3.同角三角函数基本关系和诱导公式的应用【例4】(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝.(2)已知f(α)＝sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋αsin－π＋α·tan－α＋3π.①化简f(α)；②若f(α)＝18，且π4＜α＜π2，求cosα－sinα的值；③若α＝－47π4，求f(α)的值．思路点拨：先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．(1)13[由已知得－sinθ－2cosθ＝0，故tanθ＝－2，则sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝tanθ＋1tanθ－1＝－2＋1－2－1＝13.](2)[解]①f(α)＝sin2α·cosα·tanα－sinα－tanα＝sinα·cosα.-6-②由f(α)＝sinα·cosα＝18可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×18＝34，又∵π4＜α＜π2，∴cosα＜sinα，即cosα－sinα＜0，∴cosα－sinα＝－32.③∵α＝－474π＝－6×2π＋π4，∴f－474π＝cos－474π·sin－474π＝cos－6×2π＋π4·sin－6×2π＋π4＝cosπ4·sinπ4＝22×22＝12.1．将本例(2)中“18”改为“－18”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求cosα＋sinα.[解]因为－π4＜α＜0，所以cosα＞0，sinα＜0且|cosα|＞|sinα|，所以cosα＋sinα＞0，又(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×－18＝34，所以cosα＋sinα＝32.2．将本例(2)中的用tanα表示1fα＋cos2α.[解]1fα＋cos2α＝1sinαcosα＋cos2α＝sin2α＋cos2αsinαcosα＋cos2α＝tan2α＋1tanα＋1.1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及sinαcosα＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα.注意应用(cosα±sinα)2＝1±2sinαcosα.2．诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．-7-