20202021学年高中数学第2章平面向量234平面向量共线的坐标表示教师用书教案新人教A版必修4

-1-2.3.4平面向量共线的坐标表示学习目标核心素养1.理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点)2.能根据平面向量的坐标判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点)3.两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)通过平面向量共线的坐标表示及应用，培养学生、逻辑推理和数学运算素养.平面向量共线的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线．思考：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成x1x2＝y1y2吗？[提示]不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．1．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与AB→平行且方向相反的向量a是()A．(2,1)B．(－6，－3)C．(－1,2)D．(－4，－8)D[AB→＝(1,2)，根据平行条件知选D.]2．下列各对向量中，共线的是()A．a＝(2,3)，b＝(3，－2)B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)C．a＝(2，－1)，b＝(1，2)D．a＝(1，2)，b＝(2，2)D[A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝2a，两个向量共线．]3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.－4[∵a∥b，∴6－3＝y2，解得y＝－4.]4．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝________.－9[AB→＝(－8,8)，AC→＝(3，y＋6)，∵A，B，C三点共线，即AB→∥AC→，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9.]-2-向量共线的判定与证明【例1】(1)下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)(2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB→与CD→平行吗？直线AB平行于直线CD吗？思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断．(2)判断向量AB→，CD→平行→无相关点→AB∥CD(1)D[A中，－2×6－3×4≠0，B中3×3－2×2≠0，C中1×14－(－2)×7≠0，D中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.](2)[解]∵AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，CD→＝(2－1,7－5)＝(1,2)．又2×2－4×1＝0，∴AB→∥CD→.又AC→＝(2,6)，AB→＝(2,4)，∴2×4－2×6≠0，∴A，B，C不共线，∴AB与CD不重合，∴AB∥CD.向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．[跟进训练]-3-1．已知A(1，－3)，B8，12，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．[证明]AB→＝8－1，12＋3＝7，72，AC→＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB→∥AC→，且AB→，AC→有公共点A，∴A，B，C三点共线.已知平面向量共线求参数【例2】已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？思路点拨：法一：可利用b与非零向量a共线等价于b＝λa(λ0，b与a同向；λ0，b与a反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同向还是反向．[解]法一：(共线向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，所以k－3＝10λ，2k＋2＝－4λ，解得k＝λ＝－13.当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，因为λ＝－130，所以ka＋b与a－3b反向．法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－13.这时ka＋b＝－13－3，－23＋2＝－13(a－3b)，-4-所以当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．利用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．[跟进训练]2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝________.12[由题可得2a＋b＝(4,2)，∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，∴4λ－2＝0，即λ＝12.故答案为12.]向量共线的综合应用【例3】(1)已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则2sinαcosα等于()A．3B．－3C．－45D.45(2)如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标．思路点拨：(1)先由a∥b推出sinα与cosα的关系，求tanα，再用“1”的代换求2sinαcosα.(2)要求点P的坐标，只需求出向量OP→的坐标，由OP→与OB→共线得到OP→＝λOB→，利用AP→与AC→共线的坐标表示求出λ即可；也可设P(x，y)，由OP→∥OB→及AP→∥AC→，列出关于x，y的方程组求解．(1)C[因为a∥b，所以cosα×1－(－2)sinα＝0，即cosα＝－2sinα，tanα＝－12，所以2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1-5-＝2×－12－122＋1＝－45.](2)[解]法一：(定理法)由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4,4λ)，AC→＝OC→－OA→＝(－2,6)．由AP→与AC→共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．法二：(坐标法)设P(x，y)，则OP→＝(x，y)，因为OB→＝(4,4)，且OP→与OB→共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2,6)，且AP→与AC→共线，则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤[跟进训练]3.如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．[解]因为OC→＝14OA→＝14(0,5)＝0，54，所以C0，54.-6-因为OD→＝12OB→＝12(4,3)＝2，32，所以D2，32.设M(x，y)，则AM→＝(x，y－5)，AD→＝2－0，32－5＝2，－72.因为AM→∥AD→，所以－72x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①又CM→＝x，y－54，CB→＝4，74，因为CM→∥CB→，所以74x－4y－54＝0，即7x－16y＝－20.②联立①②解得x＝127，y＝2，故点M的坐标为127，2.共线向量与线段分点点坐标的计算[探究问题]1．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？提示：如图所示，∵P为P1P2的中点，∴P1P→＝PP2→，∴OP→－OP1→＝OP2→－OP→，∴OP→＝12(OP1→＋OP2→)＝x1＋x22，y1＋y22，∴线段P1P2的中点坐标是x1＋x22，y1＋y22.2．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？-7-提示：点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：①当P1P→＝13P1P2→时，OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋13P1P2→＝OP1→＋13(OP2→－OP1→)＝23OP1→＋13OP2→＝2x1＋x23，2y1＋y23；②当P1P→＝23P1P2→时，OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋23P1P2→＝OP1→＋23(OP2→－OP1→)＝13OP1→＋23OP2→＝x1＋2x23，y1＋2y23.3．当P1P→＝λPP2→时，点P的坐标是什么？提示：∵OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋λPP2→＝OP1→＋λ(OP2→－OP→)＝OP1→＋λOP2→－λOP→，∴OP→＝OP1→＋λOP2→1＋λ＝11＋λ(x1，y1)＋λ1＋λ(x2，y2)＝11＋λx1，11＋λy1＋λ1＋λx2，λ1＋λy2＝x1＋λx21＋λ，y1＋λy21＋λ，∴Px1＋λx21＋λ，y1＋λy21＋λ.【例4】已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且|AP→|＝2|PB→|，求点P的坐标．思路点拨：点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论．[解]设P点坐标为(x，y)，|AP→|＝2|PB→|.-8-当P在线段AB上时，AP→＝2PB→，∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，∴x－3＝－2－2x，y＋4＝4－2y，解得x＝13，y＝0，∴P点坐标为13，0.当P在线段AB延长线上时，AP→＝－2PB→，∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，∴x－3＝2＋2x，y＋4＝－4＋2y，解得x＝－5，y＝8，∴P点坐标为(－5,8)．综上所述，点P的坐标为13，0或(－5,8)．1．若将本例条件“|AP→|＝2|PB→|”改为“AP→＝3PB→”其他条件不变，求点P的坐标．[解]因为AP→＝3PB→，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x,2－y)，所以x－3＝－3－3x，y＋4＝6－3y，解得x＝0，y＝12，所以点P的坐标为0，12.2．若将本例条件改为“经过点P(－2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且|AB→|＝3|AP→|”，求点A，B的坐标．[解]由题设知，A，B，P三点共线，且|AB→|＝3|AP→|，设A(x,0)，B(0，y)，①点P在A，B之间，则有AB→＝3AP→，∴(－x，y)＝3(－2－x,3)，解得x＝－3，y＝9，点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)．②点P不在A，B之间，则有AB→＝－3AP→，同理，可求得点A，B的坐标分别为－32，0，(0，－9)．综上，点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)或－32，0，(0，－9)．-9-求点的坐标时注意的问题1设P1x1，y1，P2x2，y2.若点P是P1P2的中点时，则Px，y为2求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论.3若①0＜λ＜1时，P在线段P1P2上；②λ＝1时，P与P2重合；③λ＞1时，点P在线段P1P2延长线上；,④λ＜0时，点P在线段P1P2反向延长线上.1．两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)当b≠0时，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，x1x2＝y1y2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面