20202021学年高中数学第3章三角恒等变换31两角和与差的正弦余弦和正切公式311两角差的余弦公

-1-3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式学习目标核心素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3.熟练利用两角差余弦公式进行求值计算．(重点、易混点)1.借助用向量法推导两角差的余弦公式，培养学生的逻辑推理素养.2.通过用两角差余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数据分析的核心素养.1．两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ适用条件公式中的角α，β都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反思考：cos(α－β)＝cosα－cosβ成立吗？[提示]不一定成立，这是对公式的误解．2．两角差的余弦公式的推导在平面直角坐标系中作单位圆O，以Ox为始边作α，β，它们的终边与单位圆分别交A，B，则图1OA→＝(cosα，sinα)，OB→＝(cosβ，sinβ)，∴OA→·OB→＝cosαcosβ＋sinαsinβ，设OA→与OB→的夹角为θ，则由数量积定义知OA→·OB→＝|OA→||OB→|cosθ＝cosθ，-2-∴cosθ＝cosαcosβ＋sinαsinβ.∵α＝2kπ＋β＋θ(如图1)或α＝2kπ＋β－θ(k∈Z)(如图2)，∴α－β＝2kπ±θ(k∈Z)，图2所以cos(α－β)＝cosθ，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.1．cos65°cos35°＋sin65°sin35°等于()A．cos100°B．sin100°C.32D.12C[原式＝cos(65°－35°)＝cos30°＝32.]2．cos(－15°)的值是()A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋24D[cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.]3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝.12[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12.]4．已知α是锐角，sinα＝23，则cosπ3－α＝.5＋236[由条件可求的cosα＝53，∴cosπ3－α＝cosπ3cosα＋sinπ3sinα＝12×53＋32×23＝5＋236.]给角求值问题-3-【例1】(1)cos13π12的值为()A.6＋24B.6－24C.2－64D．－6＋24(2)求下列各式的值：①cos75°cos15°－sin75°sin195°；②sin46°cos14°＋sin44°cos76°；③12cos15°＋32sin15°.(1)D[cos13π12＝cosπ＋π12＝－cosπ12＝－cosπ4－π6＝－cosπ4cosπ6－sinπ4sinπ6＝－22×32－22×12＝－6＋24.](2)[解]①cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.②sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝32.③12cos15°＋32sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝22.1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．-4-(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．(2)把所得的积相加．[跟进训练]化简下列各式：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；(2)－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°.[解](1)原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos45°＝22.(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.给值(式)求值问题[探究问题]1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？提示：cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.2．利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？提示：cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)．【例2】(1)已知sinα－sinβ＝1－32，cosα－cosβ＝12，则cos(α－β)＝()A．－32B．－12C.12D.32(2)已知sinπ3＋α＝1213，α∈π6，2π3，求cosα的值．思路点拨：(1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C(α－β)求cos(α－β)．-5-(2)由已知角π3＋α与所求角α的关系即α＝π3＋α－π3寻找解题思路．(1)D[因为sinα－sinβ＝1－32，所以sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝1－322，①因为cosα－cosβ＝12，所以cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝122，②由①②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－3＋34＋14所以－2cos(α－β)＝－3，所以cos(α－β)＝32.](2)[解]∵α∈π6，2π3，∴π3＋α∈π2，π，∴cosπ3＋α＝－1－sin2π3＋α＝－1－12132＝－513.∵α＝π3＋α－π3，cosα＝cosπ3＋α－π3＝cosπ3＋αcosπ3＋sinπ3＋αsinπ3＝－513×12＋1213×32＝123－526.1．将本例(2)的条件改为“sinα＋π4＝45，且π4α3π4”，如何解答？[解]∵sinα＋π4＝45，且π4α3π4，∴π2α＋π4π，∴cosα＋π4＝－1－452＝－35，∴cosα＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sinπ4-6-＝－35×22＋45×22＝210.2．将本例(2)的条件改为“sinπ3－α＝－1213，α∈π6，5π6”，求cosα－π12的值．[解]∵π6＜α＜5π6，∴－π2＜π3－α＜π6，又sinπ3－α＝－1213＜0，∴－π2＜π3－α＜0，cosπ3－α＝1－sin2π3－α＝513，∴cosα－π12＝cosπ12－α＝cosπ3－α－π4＝22cosπ3－α＋22sinπ3－α＝22×513＋22×－1213＝－7226.给值求值问题的解题策略1已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.2由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：①α＝α－β＋β；③2α＝α＋β＋α－β；,④2β＝α＋β－α－β.给值求角问题【例3】(1)已知α，β均为锐角，且sinα＝255，sinβ＝1010，则α－β＝(2)已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈0，π2，则β＝.思路点拨：(1)求α－β的范围→求cosα－β值→求α－β(2)明确β范围→利用β＝α＋β－α求cosβ→确定β的值-7-(1)π4(2)π3[(1)∵α，β均为锐角，∴cosα＝55，cosβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝55×31010＋255×1010＝22.又∵sinα＞sinβ，∴0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2.故α－β＝π4.(2)∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)．∵cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sinα＝437，sin(α＋β)＝5314，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.∵0＜β＜π2，∴β＝π3.]1．本例(1)中“sinα”变为“cosα”，“sinβ”变为“cosβ”，α－β的值怎样？[解]∵α，β均为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝55，sinβ＝1－cos2β＝31010，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.∵sinα＜sinβ，∴0＜α＜β＜π2.∴－π2＜α－β＜0.∴α－β＝－π4.2．若本例(2)变为：已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，结果怎样？-8-[解]由cosα＝17，0＜α＜π2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，所以β＝π3.已知三角函数值求角的解题步骤1界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.2求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.3结合三角函数值及角的范围求角.提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围而得到错误答案.1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值．(2)确定角所在的范围(找区间)．(3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．-9-1．下列命题正确的是()A．对于任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosα－cosβB．对于任意角α，β，都有cos(α－β)≠cosα－cosβC．不存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβD．存在α和β，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβD[A明显不成立；B中当α＝π4，β＝π2时，等式成立，∴B不成立；C中，当α＝kπ或β＝kπ时(k∈Z)等式成立，D正确，因为当α＝β＝0时，等式成立．]2．cos50°＝()A．cos70°cos20°－sin70°sin20°B．cos70°sin20°－sin70°cos20°C．cos70°cos20°＋sin70°sin20°D．cos70°sin20°＋sin70°cos20°C[50°＝70°－20°，根据两角差的余弦公式知C正确．]3．若sinαsinβ＝1，则cos(α－β)的值为．1[由sinαsinβ＝1，得cosαcosβ＝0，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.]4．已知sinα＝－45，sinβ＝51