20202021学年高中数学第3章三角恒等变换31两角和与差的正弦余弦和正切公式313二倍角的正弦余

-1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标核心素养1.能推导并记住二倍角的正弦、余弦和正切公式．(重点)2.能利用二倍角的正弦、余弦和正切公式化简、求值和证明．(重点)3.掌握二倍角公式的主要变形，并能熟练应用．(难点、易混点)1.借助二倍角公式的推导，培养学生的数学建模和逻辑推理素养.2.通过利用二倍角公式进行化简、求值和证明，提升学生的数学运算和逻辑推理素养.1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sinαcosαC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝2tanα1－tan2α2.余弦的二倍角公式的变形3．正弦的二倍角公式的变形(1)sinαcosα＝12sin2α，cosα＝sin2α2sinα.(2)1±sin2α＝(sinα±cosα)2.思考：用tanα能表示sin2α和cos2α吗？[提示]可以．sin2α＝2sinαcosα＝2tanα1＋tan2α.cos2α＝cos2α－sin2α＝1－tan2α1＋tan2α.1.cosπ12－sinπ12cosπ12＋sinπ12＝()A．－32B．－12-2-C.12D.32D[原式＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.]2．sin15°cos15°＝.14[sin15°cos15°＝12×2sin15°cos15°＝12sin30°＝14.]3.12－cos2π8＝.－24[12－cos2π8＝121－2cos2π8＝－12cosπ4＝－24.]4．若tanθ＝2则tan2θ＝.－43[tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×21－22＝－43.]给角求值【例1】(1)cos4π12－sin4π12等于()A．－12B．－32C.12D.32(2)求下列各式的值．①1－2sin2750°；②2tan150°1－tan2150°；③cosπ5cos2π5.(1)D[原式＝cos2π12－sin2π12cos2π12＋sin2π12＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.](2)[解]①原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos()4×360°＋60°＝cos60°＝12.②原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.③原式＝2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5-3-＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.对于给角求值问题一般有两类：1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟进训练]1．求下列各式的值(1)cos72°cos36°；(2)1sin50°＋3cos50°.[解](1)cos36°cos72°＝2sin36°cos36°cos72°2sin36°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14.(2)原式＝cos50°＋3sin50°sin50°cos50°＝212cos50°＋32sin50°12×2sin50°cos50°＝2sin80°12sin100°＝2sin80°12sin80°＝4.给值求值、求角问题[探究问题]1．公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪些主要变形？提示：主要变形有：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，-4-1＋cos2α＝2cos2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.2．如何在倍角公式中用2α±π2＝2(α±π4)解题？提示：(1)sin2α＝cosπ2－2α＝cos2π4－α＝2cos2π4－α－1＝1－2sin2π4－α；(2)cos2x＝sinπ2－2α＝sin2π4－α＝2sinπ4－αcosπ4－α；(3)cos2x＝sinπ2＋2α＝sin2π4＋α＝2sinπ4＋αcosπ4＋α.【例2】(1)已知α∈－π2，π2，且sin2α＝sinα－π4，求α.(2)已知sinπ4－x＝513，0＜x＜π4，求cos2xcosπ4＋x的值．思路点拨：(1)2α＋π2－2α＝π2，用诱导公式联系求解．(2)用余弦二倍角公式和诱导公式求解．[解](1)∵sin2α＝－cos2α＋π2＝－2cos2α＋π4－1＝1－2cos2α＋π4，sinα－π4＝－sinπ4－α＝－cosπ2－π4－α＝－cosπ4＋α，∴原式可化为1－2cos2α＋π4＝－cosα＋π4，解得cosα＋π4＝1或cosα＋π4＝－12.-5-∵α∈－π2，π2，∴α＋π4∈－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.(2)∵0＜x＜π4，sinπ4－x＝513，∴π4－x∈0，π4，cosπ4－x＝1213，cos2xcosπ4＋x＝cos2x－sin2x22cosx－sinx＝2(cosx＋sinx)＝2cosπ4－x＝2413.1．若本例(2)中的条件不变，则sin2xsinπ4＋x的值是什么？[解]sinπ4－x＝22cosx－22sinx＝513，平方得sin2x＝119169，sinπ4＋x＝cosπ2－π4＋x＝cosπ4－x＝1213，所以sin2xsinπ4＋x＝119169×1312＝119156.2．若本例(2)中的条件变为tanπ4－x＝512，其他条件不变，结果如何？[解]因为tanπ4－x＝512，所以sinπ4－x＝512cosπ4－x，又sin2π4－x＋cos2π4－x＝1，-6-故可解得cosπ4－x＝1213，原式＝2cosπ4－x＝2413.解决条件求值问题的方法1有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.2当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.化简、证明问题【例3】(1)化简：1tanθ＋1＋1tanθ－1＝.(2)证明：3tan12°－3sin12°4cos212°－2＝－43.思路点拨：(1)通分变形．(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值(1)－tan2θ[原式＝tanθ－1＋tanθ＋1tanθ＋1tanθ－1＝2tanθtan2θ－1＝－2tanθ1－tan2θ＝－tan2θ.](2)证明：左边＝3sin12°－3cos12°cos12°2sin12°2cos212°－1＝2312sin12°－32cos12°2sin12°cos12°cos24°-7-＝23sin12°－60°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－43＝右边，所以原等式成立．]证明三角恒等式的原则与步骤1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.2证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[跟进训练]2．求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B；(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos2θ.[证明](1)左边＝1＋cos2A＋2B2－1－cos2A－2B2＝cos2A＋2B＋cos2A－2B2＝12(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B)＝cos2Acos2B＝右边，∴等式成立．(2)法一：左边＝cos2θ1－sin2θcos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝右边．法二：右边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ1－sin2θcos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边.1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n是α2n＋1的二倍(n∈N*)．-8-2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α；②cos2α＝1＋cos2α2；③1－cos2α＝2sin2α；④sin2α＝1－cos2α2.1．下列说法错误的是()A．6α是3α的倍角，3α是3α2的倍角B．二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角C．存在角α，使得sin2α＝2sinα成立D．对任意角α，总有tan2α＝2tanα1－tan2αD[A正确，β中二倍角的正弦、余弦公式适用任意角，正切公式的适用范围是α，2α≠kπ＋π2(k∈Z)，故B对，D错；C中若α＝kπ(k∈Z)时等式成立．]2．若sinα＝3cosα，则sin2αcos2α＝.6[sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2sinαcosα＝6cosαcosα＝6.]3．设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是．3[∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.由α∈π2，π知sinα≠0，∴cosα＝－12，∴α＝2π3，∴tan2α＝tan4π3＝tanπ3＝3.]4．已知π2＜α＜π，cosα＝－45.(1)求tanα的值；(2)求sin2α＋cos2α的值．[解](1)因为cosα＝－45，π2＜α＜π，所以sinα＝35，所以tanα＝sinαcosα＝－34.-9-(2)因为sin2α＝2sinαcosα＝－2425，cos2α＝2cos2α－1＝725，所以sin2α＋cos2α＝－2425＋725＝－1725.