20202021学年高中数学第一章数列测评课后习题含解析北师大版必修5

1第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若数列{√}的第k项等于3,则第3k项等于()A.3B.5C.7D.9解析:依题意√=3,所以k=4,因此第3k项即第12项等于√=5.答案:B2.等差数列{an}中,若a3+a4+a5=12,则{an}的前7项和S7=()A.22B.24C.26D.28解析:由等差数列的性质得a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4,则S7==7a4=28.答案:D3.等比数列{an}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4等于()A.8B.-8C.±8D.以上都不对解析:由已知得{所以a20,a60,从而a40,且=a2·a6=64,故a4=8.答案:A4.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=9,则a7+a8+a9等于()A.-B.C.D.解析:由于S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又S3=8,S6=9,所以8,1,a7+a8+a9成等比数列,故a7+a8+a9=.答案:B5.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=()A.15B.12C.-12D.-15解析:∵an=(-1)n(3n-2),∴a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.答案:A26.定义:在数列{an}中,若满足=d(n∈N+,d为常数),称{an}为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{an}中,a1=a2=1,a3=3,则=()A.4×20172-1B.4×20182-1C.4×20152-1D.4×20162-1解析:因为a1=a2=1,a3=3,所以=2,所以数列{}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以=2n-1.所以=(2×2016-1)(2×2015-1)=4×20152-1,故选C.答案:C7.已知数列{an}中,an=n+,其前n项和为Sn,则数列{}的前8项和为()A.B.C.D.解析:因为an=n+,所以{an}是等差数列.从而Sn=(),于是=2(-),所以前8项和T8=2(---…--).答案:B8.在函数y=f(x)的图像上有点列(xn,yn),若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是等比数列,则函数y=f(x)的解析:式可能为()A.f(x)=2x+1B.f(x)=4x2C.f(x)=log3xD.f(x)=()解析:对于函数f(x)=()图像上的点列(xn,yn),有yn=(),因为{xn}是等差数列,所以xn+1-xn=d.因此()()()-(),这是一个与n无关的常数,故{yn}是等比数列,故选D.答案:D39.---+…+-的值为()A.B.C.()D.解析:∵-(-),∴---+…+-=(---…-)=(--)().答案:C10.已知数列{an}满足a1=0,且an+1=an-2,则{an}的通项公式是()A.an=()-B.an=()-C.an=()-3D.an=()--3解析:由an+1=an-2,得an+1+3=(an+3),所以{an+3}是首项为0+3=3,公比为的等比数列,于是an+3=3·()-,故an=3·()--3,即an=()--3.答案:D11.已知等比数列{an}满足an0,n=12…且a5·a2n-5=22n(n≥3则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2解析:设公比为q,则a5a2n-5=(a1q4)(a1q2n-6)=q2n-2=22n,所以a1qn-1=2n,即an=2n,所以原式=log2(a1a3…a2n-1)=log221+3+…+2n-1=log2=n2.答案:C412.导学号33194031已知等差数列{an}的通项公式an=-,设An=|an+an+1+…+an+12|(n∈N+),则当An取最小值时,n的取值为()A.16B.14C.12D.10解析:由an=-≥0得n≤16且a16=0,所以a16-i+a16+i=0(i∈N+),An中共13项的和,因此取n=10,则an+an+1+…+an+12=0,即An=0最小,故选D.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为.解析:∵S1,2S2,3S3成等差数列,∴4S2=S1+3S3,∴4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),∴a2=3a3,∴q=.答案:14.(2017江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=.解析:设该等比数列的公比为q,则S6-S3==14,即a4+a5+a6=14.①∵S3=,∴a1+a2+a3=.由①得(a1+a2+a3)q3=14,∴q3==8,即q=2.∴a1+2a1+4a1=,a1=,∴a8=a1·q7=×27=32.答案:3215.(2017全国2高考)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=.解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意可知{解得{所以Sn=na1+-d=.所以=2(-).所以5=2[(-)(-)…(-)]=2(-).答案:16.导学号33194032设数列{an}满足a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n≥4则a2015=.解析:由an=an-1+an-2-an-3,得an+1=an+an-1-an-2,两式相加,得an+1=2an-1-an-3,即an+1+an-3=2an-1(n≥4所以数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列.因为a1=1,a3=9,所以奇数项的公差为8,所以a2015=1+8×(1008-1)=8057.答案:8057三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知数列{an}中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n≥2n∈N+).(1)求a2,a3,并证明{an-n}是等比数列;(2)求an的通项公式.解(1)由已知an=2an-1-n+2(n≥2n∈N+),得a2=4,a3=7.∵an-n=2an-1-2n+2=2[an-1-(n-1)],∴----=2.又a1-1=1,∴{an-n}是首项为1,公比为2的等比数列.(2)由(1)知an-n=1×2n-1,∴an=2n-1+n.18.(本小题满分12分)已知等差数列{an},Sn为其前n项和,a5=10,S7=56.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=an+(√,求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由S7=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=56,得a4=8,所以公差d=a5-a4=2,an=a5+(n-5)×d=2n,即an=2n.(2)将an=2n代入得bn=2n+3n,所以Tn=(2+31)+(4+32)+(6+33)+…+(2n+3n)=(2+4+…+2n)+(3+32+…+3n)=--=n2+n+-.619.(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差d≠0它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{}的前n项和为Tn,求证:≤Tn.(1)解由已知,S5=5a3,∴a3=14,又a2,a7,a22成等比数列,由(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d),且d≠0可解得a1=d,∴a1=6,d=4,故数列{an}的通项公式为an=4n+2,n∈N+.(2)证明由(1)知Sn==2n2+4n,(-),∴Tn=(--…-)=().显然,≤Tn.20.(本小题满分12分)数列{an}的前n项和Sn=n(2n-1)·an,并且a1=.(1)求数列{an}的通项公式;(2)判断前n项和Sn组成的新数列{Sn}的单调性,并给出相应的证明.解(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1,得--,∴·…·---=·…·---.又a1=,故an=-.(2)∵Sn=n(2n-1)an=,Sn+1-Sn=0,对于任意的正整数都成立,∴Sn+1Sn,即前n项和Sn组成的新数列{Sn}为递增数列.21.(本小题满分12分)各项均为正数的数列{an}满足a1=1,=2(n∈N+).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和Sn.7解(1)因为=2,所以数列{}是首项为1,公差为2的等差数列,所以=1+(n-1)×2=2n-1.因为an0,所以an=√-(n∈N+).(2)由(1)知,an=√-,所以-.所以Sn=+…+---,①则Sn=+…+--,②①-②得Sn=+…+-=+2(…)-=+2×(--)--=.所以Sn=3-.22.导学号33194033(本小题满分12分)(2016全国甲高考)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=.所以{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知,bn=[].当n=1,2,3时1≤2,bn=1;当n=4,5时2≤3,bn=2;当n=6,7,8时3≤4,bn=3;当n=9,10时4≤5,bn=4.所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.