20202021学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数函数与方程理

2020-2021学年高考数学（理）考点：函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能．1．（2020•天津）已知函数3,0,(),0xxfxxx…若函数2()()|2|()gxfxkxxkR恰有4个零点，则k的取值范围是()A．(，1)(222，)B．(，1)(02，22)C．(，0)(0，22)D．(，0)(22，)【答案】D【解析】若函数2()()|2|()gxfxkxxkR恰有4个零点，则2()|2|fxkxx有四个根，即()yfx与2()|2|yhxkxx有四个交点，当0k时，()yfx与|2|2||yxx图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当0k时，2|2|ykxx与x轴交于两点10x，2212()xxxk图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当0k时，2|2|ykxx与x轴交于两点10x，2212()xxxk在[0，2)k内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需3yx与22ykxx在2(k，)还有两个交点，即可，即322xkxx在2(k，)还有两个根，即2kxx在2(k，)还有两个根，函数222yxx…，（当且仅当2x时，取等号），所以202k，且22k，所以22k，综上所述，k的取值范围为(，0)(22，)．故选D．2．（2019•新课标Ⅲ）函数()2sinsin2fxxx在[0，2]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】函数()2sinsin2fxxx在[0，2]的零点个数，即方程2sinsin20xx在区间[0，2]的根个数，即2sinsin22sincosxxxx在区间[0，2]的根个数，即sin0x或cos1x在区间[0，2]的根个数，解得0x或x或2x．所以函数()2sinsin2fxxx在[0，2]的零点个数为3个．故选B．3．（2017•新课标Ⅲ）已知函数211()2()xxfxxxaee有唯一零点，则(a)A．12B．13C．12D．1【答案】C【解析】因为2112111()2()1(1)()0xxxxfxxxaeexaee，所以函数()fx有唯一零点等价于方程21111(1)()xxxaee有唯一解，等价于函数21(1)yx的图象与111()xxyaee的图象只有一个交点．①当0a时，2()21fxxx…，此时有两个零点，矛盾；②当0a时，由于21(1)yx在(,1)上递增、在(1,)上递减，且111()xxyaee在(,1)上递增、在(1,)上递减，所以函数21(1)yx的图象的最高点为(1,1)A，111()xxyaee的图象的最高点为(1,2)Ba，由于201a，此时函数21(1)yx的图象与111()xxyaee的图象有两个交点，矛盾；③当0a时，由于21(1)yx在(,1)上递增、在(1,)上递减，且111()xxyaee在(,1)上递减、在(1,)上递增，所以函数21(1)yx的图象的最高点为(1,1)A，111()xxyaee的图象的最低点为(1,2)Ba，由题可知点A与点B重合时满足条件，即21a，即12a，符合条件；综上所述，12a，方法二：211211()2()(1)()1xxxxfxxxaeexaee，令1tx，则2()1ttytaee为偶函数，图象关于0t对称，若0y有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当0t时，120ya，所以12a．故选C．4．（2020•上海）设aR，若存在定义域为R的函数()fx同时满足下列两个条件：（1）对任意的0xR，0()fx的值为0x或20x；（2）关于x的方程()fxa无实数解，则a的取值范围是__________．【答案】(，0)(0，1)(1，)【解析】根据条件（1）可得(0)0f或f（1）1，又因为关于x的方程()fxa无实数解，所以0a或1，故(a，0)(0，1)(1，)，故答案为：(，0)(0，1)(1，)．5．（2018•新课标Ⅲ）函数()cos(3)6fxx在[0，]的零点个数为__________．【答案】3【解析】()cos(3)06fxx，362xk，kZ，193xk，kZ，当0k时，9x，当1k时，49x，当2k时，79x，当3k时，109x，[0x，]，9x，或49x，或79x，故零点的个数为3，故答案为：3．6．（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则1001531003xyzxyz，当81z时，x__________，y__________．【答案】8；11【解析】1001531003xyzxyz，当81z时，化为：195373xyxy，解得8x，11y．故答案为：8；11．7．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()log()fxxa，若f（3）1，则a__________．【答案】7【解析】函数22()log()fxxa，若f（3）1，可得：2log(9)1a，可得7a．故答案为：7．8．（2018•上海）设0a，函数()2(1)sin()fxxxax，(0,1)x，若函数21yx与()yfx的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是__________．【答案】1119(,]66【解析】函数21yx与()yfx的图象有且仅有两个不同的公共点，即方程212(1)sin()xxxax有两不同根，也就是(1)(2sin1)0xax有两不同根，(0,1)x，1sin2ax在(0,1)上有两不同根．0a，726axk或1126axk，kZ．又(0,1)x，且0a，0axa，仅有两解时，应有11161916aa…，则111966a„．a的取值范围是1119(,]66．故答案为：1119(,]66．9．（2017•江苏）设()fx是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，2,(),xxDfxxxD，其中集合1{|nDxxn，*}nN，则方程()0fxlgx的解的个数是__________．【答案】8【解析】在区间[0，1)上，2,(),xxDfxxxD，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又()fx是定义在R上且周期为1的函数，在区间[1，2)上，2(1),()1,xxDfxxxD，此时()fx的图象与ylgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3)上，()fx的图象与ylgx有且只有一个交点；区间[3，4)上，()fx的图象与ylgx有且只有一个交点；区间[4，5)上，()fx的图象与ylgx有且只有一个交点；区间[5，6)上，()fx的图象与ylgx有且只有一个交点；区间[6，7)上，()fx的图象与ylgx有且只有一个交点；区间[7，8)上，()fx的图象与ylgx有且只有一个交点；区间[8，9)上，()fx的图象与ylgx有且只有一个交点；在区间[9，)上，()fx的图象与ylgx无交点；故()fx的图象与ylgx有8个交点，且除了(1,0)，其他交点横坐标均为无理数；即方程()0fxlgx的解的个数是8，故答案为：8．10．（2017•上海）若关于x、y的方程组2436xyxay无解，则实数a__________．【答案】6【解析】若关于x、y的方程组2436xyxay无解，说明两直线240xy与360xay无交点．则13201(6)3(4)0a，解得：6a．故答案为：6．11．（2017•上海）设a、bR，若函数()afxxbx在区间(1,2)上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为__________．【答案】(0,1)【解析】函数()afxxbx在区间(1,2)上有两个不同的零点，即方程20xbxa在区间(1,2)上两个不相等的实根，21224010420bbaabba242410420bbaabba，如图画出数对(,)ab所表示的区域，目标函数zf（1）1abz的最小值为1zab过点(1,2)时，z的最大值为1zab过点(4,4)时f（1）的取值范围为(0,1)故答案为：(0,1)．1．（2020•马鞍山三模）已知13,0()3,0xxexfxxxx„，若关于x的方程2()()10fxafx有5个不同的实根，则实数a的取值范围为()A．{0，3}2B．3(0,)2C．[0，3]2D．(0，3]2【答案】B【解析】当0x时，3()3fxxx，则2()333(1)(1)fxxxx，令()0fx得：1x，当(1,)x时，()0fx，()fx单调递减；当(0,1)x时，()0fx，()fx单调递增，且f（1）2，(0)0f，当0x„时，1()xfxxe，则111()(1)xxxfxexexe，显然(1)0f，当(1,0)x时，()0fx，()fx单调递增；当(,1)x时，()0fx，()fx单调递减，且(1)1f，故函数()fx的大致图象如图所示，令()tfx，则关于x的方程2()()10fxafx化为关于t的方程210tat，△240a，方程210tat有两个不相等的实根，设为1t，2t，由韦达定理得：12tta，1210tt，不妨设10t，20t，关于x的方程2()()10fxafx恰好有5个不相等的实根，由函数()fx的图象可知：102t且210t，设2()1gttat，则(2)4210(1)110gaga，解得302a．故选B．2．（2020•龙凤区校级模拟）若关于x的方程222()alnxlnxxx恰有4个不相等实根，则实数a的取值范围是()A．22(,)eeB．212(,)8eeC．22(,0)eeD．1(,0)8【答案】B【解析】方程222()al