20202021学年高考数学考点第九章平面解析几何椭圆理

椭圆1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c2a，其中a0，c0，且a，c为常数．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2概念方法微思考1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a|F1F2|，动点P的轨迹如何？提示当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示由e＝ca＝1－ba2知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆．1．（2019•北京）已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12，则()A．222abB．2234abC．2abD．34ab【答案】B【解析】由题意，12ca，得2214ca，则22214aba，22244aba，即2234ab．故选B．2．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为1(1,0)F，2(1,0)F，过点2F的直线与椭圆C交于A，B两点．若22||2||AFFB，1||||ABBF，则C的方程为()A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy【答案】B【解析】22||2||AFBF，2||3||ABBF，又1||||ABBF，12||3||BFBF，又12||||2BFBFa，2||2aBF，2||AFa，13||2BFa，12||||2AFAFa，1||AFa，12||||AFAF，A在y轴上．在Rt△2AFO中，21cosAFOa，在△12BFF中，由余弦定理可得222134()()22cos222aaBFFa，根据221coscos0AFOBFF，可得214202aaa，解得23a，3a．222312bac．所以椭圆C的方程为：22132xy．故选B．3．（2018•全国）已知椭圆22221xyab过点3(4,)5和4(3,)5，则椭圆离心率(e)A．265B．65C．15D．25【答案】A【解析】椭圆22221xyab过点3(4,)5和4(3,)5，则2222169125916125abab，解得5a，1b，22224cab，26c，265cea，故选A．4．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆222:14xyCa的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A．13B．12C．22D．223【答案】C【解析】椭圆222:14xyCa的一个焦点为(2,0)，可得244a，解得22a，2c，22222cea．故选C．5．（2018•上海）设P是椭圆22153xy上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A．22B．23C．25D．42【答案】C【解析】椭圆22153xy的焦点坐标在x轴，5a，P是椭圆22153xy上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为225a．故选C．6．（2018•新课标Ⅱ）已知1F，2F是椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△12PFF为等腰三角形，12120FFP，则C的离心率为()A．23B．12C．13D．14【答案】D【解析】由题意可知：(,0)Aa，1(,0)Fc，2(,0)Fc，直线AP的方程为：3()6yxa，由12120FFP，212||||2PFFFc，则(2,3)Pcc，代入直线3:3(2)6APcca，整理得：4ac，题意的离心率14cea．故选D．7．（2018•新课标Ⅱ）已知1F，2F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若12PFPF，且2160PFF，则C的离心率为()A．312B．23C．312D．31【答案】D【解析】1F，2F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若12PFPF，且2160PFF，可得椭圆的焦点坐标2(,0)Fc，所以1(2Pc，3)2c．可得：22223144ccab，可得22131144(1)ee，可得42840ee，(0,1)e，解得31e．故选D．8．（2017•全国）椭圆C的焦点为1(1,0)F，2(1,0)F，点P在C上，22FP，1223FFP，则C的长轴长为()A．2B．23C．23D．223【答案】D【解析】椭圆C的焦点为1(1,0)F，2(1,0)F，则1c，2||2PF，12||2||22PFaPFa，由余弦定理可得22211221222||||||2||||cos3PFFFPFFFPF，即21(22)44222()2a，解得13a，13a（舍去），2223a，故选D．9．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆221:1364xyC和222:19yCx．P为1C上的动点，Q为2C上的动点，w是OPOQ的最大值．记{(,)|PQP在1C上，Q在2C上，且}OPOQw，则中元素个数为()A．2个B．4个C．8个D．无穷个【答案】D【解析】椭圆221:1364xyC和222:19yCx．P为1C上的动点，Q为2C上的动点，可设(6cos,2sin)P，(cos,3sin)Q，0„，2，则6coscos6sinsin6cos()OPOQ，当时，w取得最大值6，则{(,)|PQP在1C上，Q在2C上，且}OPOQw中的元素有无穷多对．另解：令(,)Pmn，(,)Quv，则22936mn，2299uv，由柯西不等式22222(9)(9)324(33)mnuvmunv…，当且仅当9mvnu，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选D．10．（2017•新课标Ⅰ）设A，B是椭圆22:13xyCm长轴的两个端点，若C上存在点M满足120AMB，则m的取值范围是()A．(0，1][9，)B．(0，3][9，)C．(0，1][4，)D．(0，3][4，)【答案】A【解析】假设椭圆的焦点在x轴上，则03m时，设椭圆的方程为：22221(0)xyabab，设(,0)Aa，(,0)Ba，(,)Mxy，0y，则22222ayaxb，MAB，MBA，AMB，tanyxa，tanyax，则222222222222tantan2222tantan[()]tan()1tantan()ayayababayaxyyabcyyb，222tanabcy，当y最大时，即yb时，AMB取最大值，M位于短轴的端点时，AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足120AMB，120AMB…，60AMO…，3tantan603AMOm…，解得：01m„；当椭圆的焦点在y轴上时，3m，当M位于短轴的端点时，AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足120AMB，120AMB…，60AMO…，tantan6033mAMO…，解得：9m…，m的取值范围是(0，1][9，)故选A．故选A．11．（2017•浙江）椭圆22194xy的离心率是()A．133B．53C．23D．59【答案】B【解析】椭圆22194xy，可得3a，2b，则945c，所以椭圆的离心率为：53ca．故选B．12．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为1A，2A，且以线段12AA为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为()A．63B．33C．23D．13【答案】A【解析】以线段12AA为直径的圆与直线20bxayab相切，原点到直线的距离222abaab，化为：223ab．椭圆C的离心率22613cbeaa．故选A．13．（2020•上海）已知椭圆22:143xyC的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q，且满足PQFQ，求直线l的方程是__________．【答案】10xy【解析】椭圆22:143xyC的右焦点为(1,0)F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q，且满足PQFQ，可知直线l的斜率为1，所以直线l的方程是：(1)yx，即10xy．故答案为：10xy．14．（2019•浙江）已知椭圆22195xy的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，||OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是__________．【答案】15【解析】椭圆22195xy的3a，5b，2c，23e，设椭圆的右焦点为F，连接PF，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得||2||4PFAO，设P的坐标为(,)mn，可得2343m，可得32m，152n，由(2,0)F，可得直线PF的斜率为15215322．另解：由||2||4PFAO，||642PF，||24FFc，可得416161cos2244PFF，115sin1164PFF，可得直线PF的斜率为sin15cosPFFPFF．故答案为：15．15．（2019•上海）在椭圆22142xy上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有121FPFP„，则1FP与2FQ的夹角范围为__________．【答案】1[arccos3，]【解析】设(,)Pxy，则Q点(,)xy，椭圆22142xy的焦点坐标为(2，0)，(2，0)，121FPFP„，2221xy„，结合22142xy可得：2[1y，2]故1FP与2FQ的夹角满足：22212222222122238cos3[122(2)8FPFQxyyyyFPFQxyx，1]3故1[arccos3，]故答案为：1[arccos3，]．16．（2018•浙江）已知点(0,1)P，椭圆22(1)4xymm上两点A，B满足2APPB，则当m__________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，由(0,1)P，2APPB，可得122xx，1212(1)yy，即有122xx，1223yy，又221144xym，即为2221xym，①222244xym，②①②得1212(2)(2)3yyyym，可得122yym，解得132my，234my，则2223()2mmx，即有222223109(5)16()244mmmmxm