20202021学年高考数学考点第九章平面解析几何直线的方程理

直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线l倾斜角的范围是0°≤α180°.2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1．直线都有倾斜角，是不是直线都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？提示倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k不存在；因为k＝tanαα≠π2.当α∈0，π2时，α越大，斜率k就越大，同样α∈π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了．2．“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．1．（2018•全国）坐标原点关于直线60xy的对称点的坐标为__________．【答案】(6,6)【解析】设坐标原点关于直线60xy的对称点的坐标为(,)ab，则116022baab，解得6a，6b，坐标原点关于直线60xy的对称点的坐标为(6,6)．故答案为：(6,6)．1．（2020•河南模拟）已知函数()sincos(0)fxxaxa，满足()()3fxfx，则直线0axyc的倾斜角为()A．6B．3C．23D．56【答案】C【解析】函数()sincos(0)fxxaxa，满足()()3fxfx，函数()fx关于直线6x对称，2()sin()cos()1666faa，化为2(3)0a，解得3a．则直线0axyc的倾斜角满足：tan3，[0，)．23．故选C．2．（2020•宜昌模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线2yx上，则3sin(2)(2)A．45B．45C．35D．35【答案】C【解析】因为角终边落在直线2yx上，所以tan2，可得21cos5，所以2313sin(2)cos2(2cos1)(21)255．故选C．3．（2020•浙江模拟）直线30(xyaa为常数）的倾斜角为()A．30B．60C．150D．120【答案】B【解析】设直线30xya的倾斜角是，则直线的方程可化为3yxa，直线的斜率tan3k，0180„，60．故选B．4．（2020•徐汇区一模）过点(1,0)，且与直线1153xy有相同方向向量的直线的方程为()A．3530xyB．3530xyC．3510xyD．5350xy【答案】B【解析】由1153xy可得，3580xy，即直线的斜率35，由题意可知所求直线的斜率率35k，故所求的直线方程为3(1)5yx即3530xy．故选B．5．（2020•普陀区一模）若直线2:12xylbaab经过第一象限内的点1(Pa，1)b，则ab的最大值为()A．76B．422C．523D．632【答案】B【解析】直线2:12xylbaab经过第一象限内的点1(Pa，1)b，则a，0b，211(2)()ababab．22121()(2)()2121bbaaababbbabababababaa．令0bta，21()121tgttt，(0)t．2222222()()2122()(12)(1)(1)(12)ttgttttt，可得22t时，()gt取得极大值即最大值，2()4222g．故选B．6．（2020•南充模拟）直线3450xy关于直线0xy对称的直线方程为()A．4350xyB．4350xyC．3450xyD．3450xy【答案】A【解析】在直线l上任取一点(,)xy，此点关于直线0xy的对称点(,)yx在直线:3450lxy上，3()4()50yx，即4350xy，故选A．7．（2019•西湖区校级模拟）直线20181yx在y轴上的截距为()A．1B．1C．12018D．12018【答案】B【解析】根据题意，直线20181yx，其与y轴的交点为(0,1)，即在y轴上的截距为1；故选B．8．（2019•西城区模拟）直线l经点(2,2)，且与直线6yx在y轴上的截距相等，则直线l的方程为()A．260xyB．260xyC．260xyD．260xy【答案】C【解析】直线6yx在y轴上的截距为6b，设直线l方程为6ykx，l过点(2,2)，226k，得24k，得2k，即l方程为26yx，即260xy，故选C．9．（2019•广州二模）已知点A与点(1,2)B关于直线30xy对称，则点A的坐标为()A．(3,4)B．(4,5)C．(4,3)D．(5,4)【答案】D【解析】设点(,)Axy．点A与点(1,2)B关于直线30xy对称，1230222(1)1,1xyyx，解得5x，4y．则点A的坐标为(5,4)．故选D．10．（2019•黄冈模拟）过点(1,2)A的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A．yxlB．3yxC．2yx或3xyD．2yx或1yx【答案】D【解析】当直线过原点时，可得斜率为20210，故直线方程为2yx，即20xy当直线不过原点时，设方程为1xyaa，代入点(1,2)可得121aa，解得1a，故方程为10xy，故所求直线方程为：2yx或1yx，故选D．11．（2019•黄冈模拟）过点(1,2)A的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为()A．1yxB．3yxC．20xy或3xyD．20xy或1xy【答案】C【解析】当直线过原点时，方程为：2yx，即20xy；当直线不过原点时，设直线的方程为：xyk，把点(1,2)代入直线的方程可得3k，故直线方程是30xy．综上可得所求的直线方程为：20xy，或30xy，故选C．12．（2020•闵行区校级三模）若直线方程0axbyc的一个法向量为(3,1)，则此直线的倾斜角为__________．【答案】3【解析】直线方程0axbyc的一个法向量为(3,1)，所以该直线的方向向量为(1,3)，则直线的斜率为3k，所以倾斜角为3．故答案为：3．13．（2020•镇江三模）已知直线1:230lxy，2:20lxkyk，且12//ll，则直线1l，2l间的距离为__________．【答案】5【解析】1:230lxy，2:20lxkyk，且12//ll，2123kk，4k，1:230lxy，2:2440lxy，即220xy；则1l、2l间的距离为：22|3(2)|51(2)；故答案为：5．14．（2020•武汉模拟）已知M，N为直线34100xy上两点，O为坐标原点，若3MON，则MON的周长最小值为__________．【答案】43【解析】在MON中，由余弦定理得：222||||||cos32||||OMONMNOMON，化简得：222||||||||||OMONOMONMN，由基本不等式22||||2||||OMONOMON…，当且仅当||||OMON时，等号成立．所以2||||2||||||OMONOMONMN…，所以2||||||MNOMON…，故||||||MNOMON…，所以||||||3||||OMONMNOMON…，由于3MON，所以||||||3||||OMONMNOMON…，取“”号时MON为等边三角形．则正三角形的高为O为坐标原点(0,0)到直线34100xy的距离22|0010|234d．所以当MON为等边三角形时：设2OMx，所以222(2)2xx，解得243x，故233x，所以2366433MONlx．故答案为：43．15．（2020•徐汇区二模）已知直线(2)(1)30axay的方向向量是直线(1)(23)20axay的法向量，则实数a的值为__________．【答案】1【解析】由直线(2)(1)30axay的方向向量是直线(1)(23)20axay的法向量，可得两直线互相垂直，则(2)(1)(1)(23)0aaaa，解得1a．故答案为：1．16．（2019•西湖区校级模拟）设直线l的方程为(1)20()axyaaR．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若1a，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求OMN面积取最小值时，直线l的方程．【解析】（1）当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时20a，解得2a，此时直线l的方程为0xy，即0xy；当直线l不经过坐标原点，即2a且1a时，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得221aaa，解得0a，此时直线l的方程为20xy；所以直线l的方程为0xy或20xy；（2）由直线方程可得2(1aMa，0)，(0,2)Na，因为1a，所以2121[(1)1](2)2121OMNaaSaaa1111[(1)2][2(1)2]22121aaaa…，当且仅当111aa，即0a时等号成立；此时直线l的方程为20xy．17．（2019•西湖区校级模拟）过(2,1)M作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B．（1）当M为AB中点时，求直线l的方程；（2）设O是坐标原点，当AOB的面积最小时，求直线l的方程．【解析】（1）设(,0)Aa，(0,)Bb，(,0)ab，则直线l的方程为1xyab，M为AB中点，22a，12b，4a，2b，则直线l的方程为：142xy，即240xy．（2）设(,0)Aa，(0,)Bb，(,0)ab，则直线l的方程为1xyab，又(2,1)M在直线l上，211ab，又21212abab…，8ab…，142Sab…，等号当且仅当，即4a，2b时成立，直线l的方程为：142xy，即240xy．18．（2019•西湖区校级模拟）在ABC中，已知M为线段AB的中点，顶点A，B的坐标分别为(4,1)，(2,5)．（Ⅰ）求线段AB的垂直平分线方程；（Ⅱ）若顶点C的坐标为(6,2)，求ABC重心的坐标．【解析】（Ⅰ）AB的中点是(3,2)M，直线AB的斜率是3，线段AB中垂线的斜率是13，故线段AB的垂直平分线方程是12(3)3yx，即330xy；（Ⅱ）设ABC的重