20202021学年高考数学考点第二章不等式基本不等式及其应用理

基本不等式及其应用1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值p24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y＝x＋1x的最小值是2吗？提示不是．因为函数y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当x0时，y0，所以函数y＝x＋1x无最小值．1．（2020•上海）下列等式恒成立的是()A．222abab„B．222abab…C．2||abab…D．222abab„【答案】B【解析】A．显然当0a，0b时，不等式222abab„不成立，故A错误；B．2()0ab…，2220abab…，222abab…，故B正确；C．显然当0a，0b时，不等式2||abab…不成立，故C错误；D．显然当0a，0b时，不等式222abab„不成立，故D错误．故选B．2．（2020•海南）已知0a，0b，且1ab，则()A．2212ab…B．122abC．22loglog2ab…D．2ab„【答案】ABD【解析】①已知0a，0b，且1ab，所以222()22abab„，则2212ab…，故A正确．②利用分析法：要证122ab，只需证明1ab即可，即1ab，由于0a，0b，且1ab，所以：0a，10b，故B正确．③22222loglogloglog()22ababab„，故C错误．④由于0a，0b，且1ab，利用分析法：要证2ab„成立，只需对关系式进行平方，整理得22abab„，即21ab„，故122abab„，当且仅当12ab时，等号成立．故D正确．故选ABD．3．（2020•天津）已知0a，0b，且1ab，则11822abab的最小值为_________．【答案】4【解析】0a，0b，且1ab，则1188882422222ababababababababab…，当且仅当82abab，即23a，23b或23a，23b取等号，故答案为：4．4．（2020•江苏）已知22451(,)xyyxyR，则22xy的最小值是_________．【答案】45【解析】方法一、由22451xyy，可得42215yxy，由20x…，可得2(0y，1]，则44222222211411(4)555yyxyyyyyy221142455yy…，当且仅当212y，2310x，可得22xy的最小值为45；方法二、222222222254254(5)4()()24xyyxyyxy„，故2245xy…，当且仅当222542xyy，即212y，2310x时取得等号，可得22xy的最小值为45．故答案为：45．5．（2019•上海）若x，yR，且123yx，则yx的最大值为_________．【答案】98【解析】113222yyxx…，239()822yx„；故答案为：98．6．（2019•天津）设0x，0y，24xy，则(1)(21)xyxy的最小值为_________．【答案】92【解析】0x，0y，24xy，则(1)(21)2212552xyxyxyxyxyxyxyxy；0x，0y，24xy，由基本不等式有：4222xyxy…，02xy„，552xy…，故：5592222xy…；（当且仅当22xy时，即：2x，1y时，等号成立），故(1)(21)xyxy的最小值为92；故答案为：92．7．（2019•天津）设0x，0y，25xy，则(1)(21)xyxy的最小值为_________．【答案】43【解析】0x，0y，25xy，则(1)(21)2212662xyxyxyxyxyxyxyxyxy；由基本不等式有：6622243xyxyxyxy…；当且仅当62xyxy时，即：3xy，25xy时，即：31xy或232xy时；等号成立，故(1)(21)xyxy的最小值为43；故答案为：43．8．（2018•上海）已知实数1x、2x、1y、2y满足：22111xy，22221xy，121212xxyy，则1122|1||1|22xyxy的最大值为_________．【答案】23【解析】设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，1(OAx，1)y，2(OBx，2)y，由22111xy，22221xy，121212xxyy，可得A，B两点在圆221xy上，且111cos2OAOBAOB，即有60AOB，即三角形OAB为等边三角形，1AB，1122|1||1|22xyxy的几何意义为点A，B两点到直线10xy的距离1d与2d之和，要求之和的最大值，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线1xy平行，可设:0ABxyt，(0)t，由圆心O到直线AB的距离||2td，可得22112t，解得62t，即有两平行线的距离为6123222，即1122|1||1|22xyxy的最大值为23，故答案为：23．9．（2018•天津）已知a，bR，且360ab，则128ab的最小值为_________．【答案】14【解析】a，bR，且360ab，可得：36ba，则66611111222228222224aaaabaaa…，当且仅当6122aa．即3a时取等号．函数的最小值为：14．故答案为：14．1．（2020•衡阳三模）已知a，bR，22ab，则1aba的最小值为()A．32B．21C．52D．22【答案】B【解析】由a，bR，22ab，1211222aaababbababa…，（当且仅当2ba即22a，222b时取等号），故则1aba的最小值为21，故选B．2．（2020•道里区校级四模）若正实数a，b满足112abab，则ab的最小值为()A．2B．22C．4D．8【答案】A【解析】正实数a，b满足111222ababab…，解可得，2ab…，当且仅当112ab时取等号，则ab的最小值为2．故选A．3．（2020•道里区校级四模）若实数a，b满足122()lglgalgbab，则ab的最小值为()A．2B．22C．32lgD．2lg【答案】B【解析】因为122()lglgalgbab，所以1222ababab…，当且仅当12ab时取等号，解可得，22ab…．故选B．4．（2020•衡阳三模）已知a，(0,)b，22ab，则1aba的取值范围是()A．(0,)B．[21,)C．5[,)2D．[22,)【答案】B【解析】已知a，(0,)b，22ab，121212122baaaababbabababa…，当且仅当2abba，即22a，222b时，取号，故选B．5．（2020•贵阳模拟）已知a，b均为正数，函数2()logfxaxb的图象过点(4,1)，则2abab的最小值为()A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】由题意可得，2log41ab即21ab，0a，0b，则2121222()(2)59ababababbababa…，当且仅当22abba且21ab即13ab时取等号，故选D．6．（2020•镇海区校级模拟）若0a，0b，且11abab，则22ab的最小值为()A．2B．22C．4D．42【答案】C【解析】0a，0b，且11abab，112abab…，可得2ab…．当且仅当2ab时取等号．2224abab厖，当且仅当2ab时取等号．则22ab的最小值为4，故选C．7．（2020•辽宁三模）若441xy，则xy的取值范围是()A．(，1]B．[1，)C．(，1]D．[1，)【答案】A【解析】由基本不等式可得，若441xy，有14424424xyxyxy…，即11444xy„，根据指数函数4xy是单调递增函数可得，1xy„，故xy的取值范围是(，1]，故选A．8．（2020•潮州二模）若直线220(0,0)axbyab过圆222410xyxy的圆心，则91ab的最小值是()A．16B．10C．12D．14【答案】A【解析】由题意可得圆222410xyxy的圆心(1,2)，故2220ab即1ab，(0,0)ab，则919199()()1010216babaababababab…，当且仅当9baab且1ab即14b，34a时取等号．故选A．9．（2020•石家庄模拟）a，b是两个互不相等的正数，则下列三个代数式中，最大的一个是()①11()()abba，②22abab，③22()2ababababA．必定是①B．必定是②C．必定是③D．不能确定【答案】D【解析】因为0a，0b，所以①1111()()11224abababbaabab…，（当且仅当1abab时，取等号），②222222abababab…，（当且仅当22abab时，取等号），③2222()(2)422abababababababab…，（当且仅当22abababab时，取等号），综上可知，①②，③②，但①和③不能确定大小．故选D．10．（2020•葫芦岛模拟）若圆22(2)(1)5xy关于直线10(0,0)axbyab对称，则21ab的最小值为()A．4B．42C．9D．92【答案】C【解析】由题意可知，圆心(2,1)在直线10axby，则21ab，又因为0a，0b，所以212122()(2)5549baabababab…，当且仅当22baab且21ab即13a，13b时取等号，此时取得最小值9．故选C．11．（2020•韶关二模）已知0x，0y，且121xy，则2xy的最小值是()A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】根据题意，若0x，0y，且121xy，则1222222(2)()552549yxyxxyxyxyxyxy…，当且仅当3xy时，等号成立，故2xy的最小值是9；故选C．12．（2020•诸暨市模拟）已知22log(4)2log(2)abab，则ab的最小值是()A．2B．21C．94D．52【答案】C【解析】222log(4)2log(2)log