20202021学年高考数学考点第八章立体几何与空间向量81空间几何体及其表面积体积理

考点8.1空间几何体及其表面积、体积1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形含义①有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形．②每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环3.三视图与直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.4.多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l6.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3概念方法微思考1．如何求旋转体的表面积？提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和．2．如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．1．（2020•天津）若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．12B．24C．36D．144【答案】C【解析】由题意，正方体的对角线就是球的直径，所以23236R，所以3R，2436SR．故选C．2．（2020•新课标Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A．514B．512C．514D．512【答案】C【解析】设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h，则依题意有：222212()2hahahh，因此有222151()4()2()10224ahhhhahaaa（负值514舍去）；故选C．3．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，1O为ABC的外接圆．若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为()A．64B．48C．36D．32【答案】A【解析】由题意可知图形如图：1O的面积为4，可得12OA，则13sin602AOAB，13322AOAB，123ABBCACOO，外接球的半径为：22114RAOOO，球O的表面积：24464．故选A．4．（2019•新课标Ⅰ）已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，90CEF，则球O的体积为()A．86B．46C．26D．6【答案】D【解析】如图，由PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥PABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影1O为底面三角形的中心，连接1BO并延长，交AC于G，则ACBG，又1POAC，11POBGO，可得AC平面PBG，则PBAC，E，F分别是PA，AB的中点，//EFPB，又90CEF，即EFCE，PBCE，得PB平面PAC，正三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为2222222221()2DPAPBPCPAPBPBPCPAPC22222211()(222)622ABBCAC．半径为62，则球O的体积为346()632．故选D．5．（2018•新课标Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122B．12C．82D．10【答案】B【解析】设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：248R，解得2R，则该圆柱的表面积为：2(2)2222212．故选B．6．（2018•新课标Ⅲ）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543【答案】B【解析】ABC为等边三角形且面积为93，可得23934AB，解得6AB，球心为O，三角形ABC的外心为O，显然D在OO的延长线与球的交点如图：2362332OC，224(23)2OO，则三棱锥DABC高的最大值为：6，则三棱锥DABC体积的最大值为：313618334．故选B．7．（2017•全国）正三棱柱111ABCABC各棱长均为1，D为1AA的中点，则四面体1ABCD的体积是()A．34B．38C．312D．324【答案】D【解析】如图，111ABCABC为正三棱柱，底面ABC为正三角形，侧面11BBCC为正方形，1111111ABCDABCABCABBCCDABCVVVV13131131311112232322224．故选D．8．（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．B．34C．2D．4【答案】B【解析】圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径22131()22r，该圆柱的体积：233()124VSh．故选B．9．（2020•海南）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，M、N分别为1BB、AB的中点，则三棱锥1ANMD的体积为__________．【答案】13【解析】如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为2，M、N分别为1BB、AB的中点，111122ANMS，111112323ANMDDAMNVV．故答案为：13．10．（2020•浙江）已知圆锥的侧面积（单位：2)cm为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：)cm是__________．【答案】1cm【解析】圆锥侧面展开图是半圆，面积为22cm，设圆锥的母线长为acm，则2122a，2acm，侧面展开扇形的弧长为2cm，设圆锥的底面半径OCrcm，则22r，解得1rcm．故答案为：1cm．11．（2020•江苏）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是__________．【答案】1232【解析】六棱柱的体积为：1622sin6021232，圆柱的体积为：2(0.5)22，所以此六角螺帽毛坯的体积是：3(123)2cm，故答案为：1232．12．（2020•新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．【答案】23【解析】因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线3BS，底面半径1BC，则其高2222SCBSBC，不妨设该内切球与母线BS切于点D，令ODOCr，由SODSBC∽，则ODBCOSBS，即1322rr，解得22r，34233Vr，故答案为：23．13．（2019•全国）已知平面截球O的球面所得圆的面积为，O到的距离为3，则球O的表面积为__________．【答案】40【解析】平面截球O的球面所得圆的面积为，则圆的半径为1，该平面与球心的距离3d，球半径221310R．球的表面积2440SR．故答案为：40．14．（2019•江苏）如图，长方体1111ABCDABCD的体积是120，E为1CC的中点，则三棱锥EBCD的体积是__________．【答案】10【解析】长方体1111ABCDABCD的体积是120，E为1CC的中点，11111120ABCDABCDVABBCDD，三棱锥EBCD的体积：13EBCDBCDVSCE1132BCDCCE1112ABBCDD10．故答案为：10．15．（2019•新课标Ⅲ）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCDABCD挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，6ABBCcm，14.3AAcmD打印所用原料密度为30.9/gcm．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________g．【答案】118.8【解析】该模型为长方体1111ABCDABCD，挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，6ABBCcm，14AAcm，该模型体积为：1111ABCDABCDOEFGHVV11664(46432)332314412132()cm，3D打印所用原料密度为30.9/gcm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8()g．故答案为：118.8．16．（2018•全国）已知三棱锥OABC的体积为1，1A、1B、1C分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥111OABC的体积为__________．【答案】18【解析】如图，1A、1B、1C分别为OA、OB、OC的中点，△111ABCABC∽，则11114ABCABCSS，过O作OG平面ABC，交平面111ABC于1G，则112OGOG．1111111111383ABCABCOABCVSOGSOG三棱锥1188OABCV．故答案为：18．17．（2018•天津）如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，则四棱锥111ABBDD的体积为__________．【答案】13【解析】由题意可知四棱锥111ABBDD的底面是矩形，边长：1和2，四棱锥的高：111222AC．则四棱锥111ABBDD的体积为：12112323．故答案为：13．18．（2018•天津）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥MEFGH的体积为__________．【答案】112【解析】正方体的棱长为1，MEFGH的底面是正方形的边长为：22，四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为12，四棱锥MEFGH的体积：21211()32212．故答案为：112．19．（2018•江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________．【答案】43【解析】正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：2