20202021学年高考数学考点第八章立体几何与空间向量82空间点直线平面之间的位置关系理

考点8.2空间点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：0，π2.3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．概念方法微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．1．（2019•新课标Ⅲ）如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BMEN，且直线BM，EN是相交直线B．BMEN，且直线BM，EN是相交直线C．BMEN，且直线BM，EN是异面直线D．BMEN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，BM平面BDE，EN平面BDE，BM是BDE中DE边上的中线，EN是BDE中BD边上的中线，直线BM，EN是相交直线，设DEa，则2BDa，2235244BEaaa，72BMa，223144ENaaa，BMEN，故选B．2．（2019•上海）已知平面、、两两垂直，直线a、b、c满足：a，b，c，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系()A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面【答案】B【解析】如图1，可得a、b、c可能两两垂直；如图2，可得a、b、c可能两两相交；如图3，可得a、b、c可能两两异面；故选B．3．（2018•上海）如图，在直三棱柱111ABCABC的棱所在的直线中，与直线1BC异面的直线的条数为()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】在直三棱柱111ABCABC的棱所在的直线中，与直线1BC异面的直线有：11AB，AC，1AA，共3条．故选C．4．（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱111ABCABC中，120ABC，2AB，11BCCC，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为()A．32B．155C．105D．33【答案】C【解析】【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，1BB和11BC的中点，则1AB、1BC夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为(0,])2，可知11522MNAB，11222NPBC；作BC中点Q，则PQM为直角三角形；1PQ，12MQAC，ABC中，由余弦定理得2222cosACABBCABBCABC141221()27，7AC，72MQ；在MQP中，22112MPMQPQ；在PMN中，由余弦定理得2222225211()()()10222cos2552222MNNPPMMNPMNNP；又异面直线所成角的范围是(0，]2，1AB与1BC所成角的余弦值为105．【解法二】如图所示，补成四棱柱1111ABCDABCD，求1BCD即可；12BC，2221221cos603BD，15CD，22211BCBDCD，190DBC，1210cos55BCD．故选C．5．（2016•上海）如图，在正方体1111ABCDABCD中，E、F分别为BC、1BB的中点，则下列直线中与直线EF相交的是()A．直线1AAB．直线11ABC．直线11ADD．直线11BC【答案】D【解析】根据异面直线的概念可看出直线1AA，11AB，11AD都和直线EF为异面直线；11BC和EF在同一平面内，且这两直线不平行；直线11BC和直线EF相交，即选项D正确．故选D．6．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体1111ABCDABCD中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且12DEED，12BFFB．证明：（1）当ABBC时，EFAC；（2）点1C在平面AEF内．【解析】（1）因为1111ABCDABCD是长方体，所以1BB平面ABCD，而AC平面ABCD，所以1ACBB，因为1111ABCDABCD是长方体，且ABBC，所以ABCD是正方形，所以ACBD，又1BDBBB．所以AC平面11BBDD，又因为点E，F分别在棱1DD，1BB上，所以EF平面11BBDD，所以EFAC．（2）取1AA上靠近1A的三等分点M，连接1DM，1CF，MF．因为点E在1DD，且12DEED，所以//EDAM，且EDAM，所以四边形1AEDM为平行四边形，所以1//DMAE，且1DMAE，又因为F在1BB上，且12BFFB，所以11//AMFB，且11AMFB，所以11ABFM为平行四边形，所以11//FMAB，11FMAB，即11//FMCD，11FMCD，所以11CDMF为平行四边形，所以11//DMCF，所以1//AECF，所以A，E，F，1C四点共面．所以点1C在平面AEF内．7．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1AB，2BEBF，60FBC．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积．【解析】（1）证明：由已知可得//ADBE，//CGBE，即有//ADCG，则AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面；由四边形ABED为矩形，可得ABBE，由ABC为直角三角形，可得ABBC，又BCBEB，可得AB平面BCGE，AB平面ABC，可得平面ABC平面BCGE；（2）连接BG，AG，由AB平面BCGE，可得ABBG，在BCG中，2BCCG，120BCG，可得2sin6023BGBC，可得2213AGABBG，在ACG中，5AC，2CG，13AG，可得45131cos2255ACG，即有2sin5ACG，则平行四边形ACGD的面积为22545．8．（2019•上海）如图，在正三棱锥PABC中，2,3PAPBPCABBCAC．（1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；（2）求PABC的体积．【解析】（1）M，N分别为PB，BC的中点，//MNPC，则PCA为AC与MN所成角，在PAC中，由2PAPC，3AC，可得22233cos24223PCACPAPCAPCAC，AC与MN的夹角为3arccos4；（2）过P作底面垂线，垂直为O，则O为底面三角形的中心，连接AO并延长，交BC于N，则32AN，213AOAN．22213PO．1133333224PABCV．1．（2020•江西模拟）在长方体1111ABCDABCD中，7AD，10AB，11AA，过点B作直线1与直线1AD及直线1AC所成的角均为3，这样的直线1的条数为()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】11ADADAA，11ACABADAA，则1111()()ADACADAAABADAA221107016ABADADABAAAA，而1||7122AD，1||710132AC，所以1cosAD，16122232AC，所以直线1AD和直线1AC所成的角为3，将直线l、直线1AD和直线1AC平移至点P，则当三条直线在同一平面时，直线l为角平分线；若三条直线不在同一平面，则这样的直线有两条．故这样的直线条数为3．故选C．2．（2020•汉阳区校级模拟）在正方体1111ABCDABCD中，过点D作直线l与异面直线AC和1BC所成角均为，则的最小值为()A．15B．30C．45D．60【答案】B【解析】11//ACAC，11BCA为异面直线AC和1BC所成角，又1111ACBCAB，△11ABC是等边三角形，故1160BCA，过B作直线l的平行线l，则当l与11BCA的角平分线重合时，取得最小值30．故选B．3．（2020•德阳模拟）如图，ABC是等腰直角三角形，ABAC，在BCD中90BCD且3BC．将ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若32AM，那么()A．平面ABD平面BCDB．平面ABC平面ABDC．ABCDD．ACBD【答案】C【解析】ABC是等腰直角三角形，ABAC，3BC，点A在平面BCD上的射影为点M，若32AM，由12AMBC，可得M为BC的中点，AM平面BCD，则AMCD，又CDBC，AM，BC为相交直线，可得CD平面ABC，可得CDAB，故选C．4．（2020•香坊区校级一模）如图，三棱锥SABC中，平面SAC平面ABC，过点B且与AC平行的平面分别与棱SA、SC交于E，F，若2,22SASCBABCAC，则下列结论正确的序号为()①//ACEF；②若E，F分别为SA，SC的中点，则四棱锥BAEFC的体积为22；③若E，F分别为SA，SC的中点，则BF与SA所成角的余弦值为33；④SCBE．A．②③B．①②④C．①②③D．①②【答案】C【解析】①//AC平面BEF，平面SAC平面BEFEF，AC平面SAC，//ACEF，即①正确；②取AC的中点M，连接BM、SM，BABC，BMAM，又平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，BM平面ABC，BM平面SAC，即点B到平面AEFC的距离为2BM．2SASC，22AC，SAC为等腰直角三角形，113222AEFCSACSEFSSSSASCSESF．113223322BAEFCAEFCVBMS，即②正确；③连接MF，M、F分别为AC、SC的中点，//FMSA，112FMSA，BFM即为BF与SA所成角．在RtBMF中，2tan21BMBFMFM，3cos3BFM，BF与SA所成角的余弦值为33，即③正确；④连接EM，由②知，BM平面SAC，BMSC，若SCBE，BMBEB，BM、BE平面BME，SC平面BME，又EM平面BME，SCEM，这与//SCEM相矛盾，即④错误．正确的有①②③，故选C．5．（2020•汉阳区校级模拟）已知正方体1111ABCDABCD，P为面11BCBC所在的平面内与1B不重合任意一点，则直线1AC与直线1BP所成角的余弦值的最大值为()A．33B．12C．32D．63【答案】D【解析】设正方体棱长为1，则12BC，13AC，过1C作1BP的平行线1CM，过A作1AMCM，则1ACM为直线1AC与直线1BP所成角．AB平面11BCCB，1AMAB…，2111326cos333CMAMACMAC„，故选D．6．（2020•兴庆区