20202021学年高考数学考点第十一章计数原理随机变量及其分布114离散型随机变量的分布列均值与方

1考点11.4离散型随机变量的分布列、均值与方差1．离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②i＝1npi＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1－pp其中0p1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为成功概率．3．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差2称D(X)＝i＝1n(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根DX为随机变量X的标准差．4．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)5．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m)，即X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．1．（2019•浙江）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在（0，1）内增大时，（）A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大【答案】D【解析】E（X）＝0×13+a×13+1×13=𝑎+13，D（X）＝（𝑎+13）2×13+（a−𝑎+13）2×13+（1−𝑎+13）2×13=127[（a+1）2+（2a﹣1）2+（a﹣2）2]=29（a2﹣a+1）=29（a−12）2+16∵0＜a＜1，∴D（X）先减小后增大故选D．32．（2018•浙江）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012P1−𝑎212𝑎2则当p在（0，1）内增大时，（）A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是E（ξ）＝0×1−𝑎2+1×12+2×𝑎2=p+12；方差是D（ξ）=(0−𝑎−12)2×1−𝑎2+(1−𝑎−12)2×12+(2−𝑎−12)2×𝑎2＝﹣p2+p+14=−(𝑎−12)2+12，∴p∈（0，12）时，D（ξ）单调递增；p∈（12，1）时，D（ξ）单调递减；∴D（ξ）先增大后减小．故选D．3．（2018•新课标Ⅲ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P（X＝4）＜P（X＝6），则p＝（）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3【答案】B【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），P（x＝4）＜P（X＝6），可得𝑎104𝑎4(1−𝑎)6＜𝑎106𝑎6(1−𝑎)4，可得1﹣2p＜0．即p＞12．因为DX＝2.4，可得10p（1﹣p）＝2.4，解得p＝0.6或p＝0.4（舍去）．故选B．4．（2017•浙江）已知随机变量ξi满足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1﹣pi，i＝1，2．若0＜p14＜p2＜12，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）【答案】A【解析】∵随机变量ξi满足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1﹣pi，i＝1，2，…，0＜p1＜p2＜12，∴12＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）＝1×p1+0×（1﹣p1）＝p1，E（ξ2）＝1×p2+0×（1﹣p2）＝p2，D（ξ1）＝（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=𝑎1−𝑎12，D（ξ2）＝（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=𝑎2−𝑎22，D（ξ1）﹣D（ξ2）＝p1﹣p12﹣（𝑎2−𝑎22）＝（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选A．5．（2020•浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝__________，E（ξ）＝__________．【答案】13，1【解析】由题意知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2；计算P（ξ＝0）=𝑎11𝑎41+𝑎11⋅𝑎11𝑎41⋅𝑎31=13；P（ξ＝1）=𝑎21⋅𝑎11𝑎42+𝑎21𝑎11𝑎22𝑎11𝑎43=13；P（ξ＝2）=𝑎22⋅𝑎11𝑎43+𝑎22⋅𝑎11⋅𝑎33⋅𝑎11𝑎44=13；所以E（ξ）＝0×13+1×13+2×13=1．故答案为：13，1．6．（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取5100次．X表示抽到的二等品件数，则DX＝__________．【答案】1.96【解析】由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p＝0.02，n＝100，则DX＝npq＝np（1﹣p）＝100×0.02×0.98＝1.96．故答案为：1.96．7．（2020•江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn与2pn﹣1+qn﹣1的递推关系式和Xn的数学期望E（Xn）（用n表示）．【解析】（1）由题意可知：p1=13，q1=23，则p2=13𝑎1+23×13𝑎1=727；q2=23𝑎1+(23×23+13×13)𝑎1=1627．（2）由题意可知：𝑎𝑎+1=13𝑎𝑎+23×13𝑎𝑎=13𝑎𝑎+29𝑎𝑎，𝑎𝑎+1=23𝑎𝑎+(23×23+13×13)𝑎𝑎+23(1−𝑎𝑎−𝑎𝑎)=−19𝑎𝑎+23，两式相加可得2pn+1+qn+1=23𝑎𝑎+13𝑎𝑎+23=13(2𝑎𝑎+𝑎𝑎)+23，则：2pn+qn=13(2𝑎𝑎−1+𝑎𝑎−1)+23，所以，2pn+qn﹣1=13(2𝑎𝑎−1+𝑎𝑎−1−1)，因为2𝑎1+𝑎1−1=13，数列{2pn+qn﹣1}是首项为13，公比为13的等比数列，所以2pn+qn﹣1=(13)𝑎，即2pn+qn=(13)𝑎+1，所以E（Xn）＝2pn+qn+0×（1﹣pn﹣qn）=(13)𝑎+1．8．（2019•天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前6到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．【解析】（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X～B（3，23），从而P（X＝k）=𝑎3𝑎(23)𝑎(13)3−𝑎，k＝0，1，2，3．所以，随机变量X的分布列为：X0123P1272949827随机变量X的期望E（X）＝3×23=2．（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，23），且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y＝0}＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）=827×29+49×127=202439．（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．7【解析】（Ⅰ）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率p=40100=0.4．（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，P（X＝0）=1830×1025=180750=625，P（X＝1）=1830×1525+1230×1025=390750=1325，P（X＝2）=1230×1525=180750=625，∴X的分布列为：X012P6251325625数学期望E（X）=0×625+1×1325+2×625=1．（Ⅲ）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p=𝑎33𝑎303=14060，虽然概率较小，但发生的可能性为14060．故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．10．（2018•天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．8（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【解析