20202021学年高考数学考点第十二章坐标系与参数方程不等式选讲不等式的证明理

1不等式的证明不等式的证明方法：作差比较法(1)作差比较法的理论依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理；③判定符号；④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定与0的大小关系，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．作商比较法(1)作商比较法：若a＞0，b＞0，要证明a＞b，只要证明ab＞1；要证明b＞a，只要证明ab＜1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．(2)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b＞0，若ab＞1，则a＞b；若ab＜1，则a＜b；②b＜0，若ab＞1，则a＜b；若ab＜1，则a＞b.(3)作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b符号；②作商；③变形整理；④判定与1的大小关系；⑤得出结论.(1)综合法①定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．②特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．③证明的框图表示用P表示已知条件或已有定义、定理、公理等，用Q表示所要证明的不等式，则综合法可用框图表示为P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(2)分析法①定义：证明命题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．这是一种“执果索因”的思考和证明方法．②特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．③证明过程的框图表示用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为2Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件反证法(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．放缩法(1)放缩法证明的定义证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．(2)放缩法的理论依据①不等式的传递性．②等量加(减)不等量为不等量．③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．基本不等式(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)．(2)定理2：如果a，b＞0，那么a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时，等号成立)．(3)引理：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．(4)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．(5)推论：若a1，a2，…，an∈R＋，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an.当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立；二维形式的柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥x1－x22＋y1－y22.一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．3排序不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．1．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，cR，0abc，1abc．（1）证明：0abbcca；（2）用{maxa，b，}c表示a，b，c的最大值，证明：{maxa，b，3}4c…．【解析】（1）0abc，2()0abc，2222220abcabacbc，222222()abacbcabc，1abc，a，b，c均不为0，222222()0abacbcabc，0abacbc；（2）不妨设304abc„，则3114abc，0abc，34abc，而112331662424444abab…，与假设矛盾，故{maxa，b，3}4c…．2．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，cR，0abc，1abc．（1）证明：0abbcca；（2）用{maxa，b，}c表示a，b，c中的最大值，证明：{maxa，b，3}4c…．【解析】（1）0abc，2()0abc，42222220abcabacbc，222222()abacbcabc，1abc，a，b，c均不为0，222222()0abacbcabc，0abacbc；（2）不妨设304abc„，则3114abc，0abc，34abc，而112331662424444abab…，与假设矛盾，故{maxa，b，3}4c…．3．（2019•新课标Ⅲ）设x，y，zR，且1xyz．（1）求222(1)(1)(1)xyz的最小值；（2）若2221(2)(1)()3xyza…成立，证明：3a„或1a…．【解析】（1）x，y，zR，且1xyz，由柯西不等式可得2222222(111)[(1)(1)(1)](111)4xyzxyz…，可得2224(1)(1)(1)3xyz…，即有222(1)(1)(1)xyz的最小值为43；（2）证明：由1xyz，柯西不等式可得22222222(111)[(2)(1)()](21)(2)xyzaxyzaa…，可得2222(2)(2)(1)()3axyza…，即有222(2)(1)()xyza的最小值为2(2)3a，由题意可得2(2)133a…，解得1a…或3a„．4．（2019•新课标Ⅰ）已知a，b，c为正数，且满足1abc．证明：5（1）222111abcabc„；（2）333()()()24abbcca…．【解析】（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足1abc．要证（1）222111abcabc„；因为1abc．就要证：222abcabcabcabcabc„；即证：222bcacababc„；即：222222222bcacababc„；2222222220abcbcacab…222()()()0abacbc…；a，b，c为正数，且满足1abc．2()0ab…；2()0ac…；2()0bc…恒成立；当且仅当：1abc时取等号．即222()()()0abacbc…得证．故222111abcabc„得证．（2）证333()()()24abbcca…成立；即：已知a，b，c为正数，且满足1abc．()ab为正数；()bc为正数；()ca为正数；333()()()3()()()abbccaabbcca…；当且仅当()()()abbcca时取等号；即：1abc时取等号；a，b，c为正数，且满足1abc．()2abab…；()2bcbc…；()2caac…；当且仅当ab，bc；ca时取等号；即：1abc时取等号；333()()()3()()()382424abbccaabbccaabbcacabc厖；当且仅当1abc时取等号；故333()()()24abbcca…．得证．故得证．65．（2017•新课标Ⅱ）已知0a，0b，332ab．证明：（1）55()()4abab…；（2）2ab„．【解析】（1）由柯西不等式得：55552332()()()()4ababaabbab厖，当且仅当55abba，即1ab时取等号，（2）332ab，22()()2abaabb，2()[()3]2ababab，3()3()2ababab，3()23()ababab，由均值不等式可得：32()2()3()2abababab„，333()()24abab„，31()24ab„，2ab„，当且仅当1ab时等号成立．1．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，cR，0abc，1abc．（1）证明：0abbcca；（2）用{maxa，b，}c表示a，b，c的最大值，证明：{maxa，b，3}4c…．【解析】（1）0abc，2()0abc，2222220abcabacbc，222222()abacbcabc，1abc，a，b，c均不为0，222222()0abacbcabc，0abacbc；（2）不妨设304abc„，则3114abc，70abc，34abc，而112331662424444abab…，与假设矛盾，故{maxa，b，3}4c…．2．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，cR，0abc，1abc．（1）证明：0abbcca；（2）用{maxa，b，}c表示a，b，c中的最大值，证明：{maxa，b，3}4c…．【解析】（1）0abc，2()0abc，2222220abcabacbc，222222()abacbcabc，1abc，a，b，c均不为0，222222()0abacbcabc，0abacbc；（2）不妨设304abc„，则3114abc，0abc，34abc，而112331662424444abab…，与假设矛盾，故{maxa，b，3}4c…．3．（2019•新课标Ⅲ）设x，y，zR，且1xyz．（1）求222(1)(1)(1)xyz的最小值；（2）若2221(2)(1)()3xyza…成立，证明：3a„或1a…．【解析】（1）x，y，zR，且1xyz，由柯西不等式可得2222222(111)[(1)(1)(1)](111)4xyzxyz…，可得2224(1)(1)(1)3xyz…，8即有222(1)(1)(1)xyz的最小值为43；（2）证明：由1xyz，柯西不等式可得22222222(111)[(2)(1)()](21)(2)xyzaxyzaa