20202021学年高考数学考点第十章统计与概率几何概型理

1几何概型1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个.(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．概念方法微思考1．古典概型与几何概型有什么区别？提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．1．（2019•全国）在RtABC中，ABBC，在BC边上随机取点P，则30BAP的概率为()A．12B．33C．23D．32【答案】B【解析】在RtABC中，ABBC，RtABC为等腰直角三角形，令1ABBC，则：2AC；在BC边上随机取点P，当30BAP时，3tan303BP，在BC边上随机取点P，则30BAP的概率为：33BPpBC，故选B．22．（2018•新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p，2p，3p，则()A．12ppB．13ppC．23ppD．123ppp【答案】A【解析】法一：如图：设12BCr，22ABr，32ACr，222123rrr，23231422SrrrrⅠ，2123122SrrrⅢ，22222323212323111112222222SrrSrrrrrrrⅡⅢ，SSⅠⅡ，12PP，法二：设12BCr，22ABr，32ACr，则222123rrr，222312222rrr，故大半圆面积等于两个较小半圆面积之和，即SSSSSSSⅠ空白①空白②月牙①空白①月牙②空白②，SSSⅠ月牙①月牙②，SSⅠⅡ，12PP，3故选A．3．（2017•新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A．14B．8C．12D．4【答案】B【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积2S，则对应概率248P，故选B．4．（2017•江苏）记函数2()6fxxx定义域为D．在区间[4，5]上随机取一个数x，则xD的概率是__________．【答案】59【解析】由260xx…得260xx„，得23x剟，则[2D，3]，则在区间[4，5]上随机取一个数x，则xD的概率3(2)55(4)9P，故答案为：59．41．（2020•德阳模拟）在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为()A．16B．12C．44D．14【答案】D【解析】由对称性可得，阴影部分的面积等于AOB的面积；而AOB的面积占整个正方形面积的14；故所求概率为：14．故选D．2．（2020•南岗区校级模拟）已知正方形ABCD的边长为3，以A为顶点在BAD内部作射线AP，射线AP与正方形ABCD的边交于点M，则2AM的概率为()A．32B．12C．33D．23【答案】D【解析】正方形ABCD的边长为3，以A为顶点在BAD内部作射线AP，射线AP与正方形ABCD的边交于点M，如图所示：5已知3ADABBCCD，1DM，所以22(3)12AM．所以：1sin2DAM，所以6DAM．根据阴影的对称性，故：266(2)32PAM故选D．3．（2020•宝鸡三模）在区间[0，5]上随机地取一个数x，则事件“1124x剟”发生的概率为()A．25B．15C．12D．14【答案】A【解析】根据题意，因为1012124222xx剟剟，解可得：13x剟，所以事件“1124x剟”发生的概率为312505P．故选A．4．（2020•安徽模拟）如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)．函数2()fxx，若在矩形ABCD内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为()6A．13B．12C．23D．512【答案】D【解析】由已知，矩形的面积为4(21)4，阴影部分的面积为22321115(4)(4)|33xdxxx，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于512；故选D．5．（2020•广东四模）如图，正方形ABCD的边长为1，分别以A，C为圆心，1为半径作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．22B．23C．12D．13【答案】C【解析】如图所示：阴影部分可拆分为两个小弓形，则阴影部分面积：22221112()422Saaaa正方形面积：2Sa，所求概率12SpS故选C．76．（2020•榆林四模）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(18291905)首先发现的，所以以他的名字命名，其作法如下：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另外两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．若在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形外部的概率为()A．332(3)B．2332(3)C．23323D．2323【答案】B【解析】如图，设2BC，以B为圆心的扇形面积是：22263，ABC的面积是：1322322，勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即23232233，在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率是：323312232(3)故选B．7．（2020•三模拟）任取满足||||2xy„的一对实数x，y，下列选项中，事件“221xy„”发生的概率最接近的百分数是()A．80%B．70%C．30%D．20%【答案】A【解析】如图，||||2xy„表示边长等于2的正方形区域，8而221xy„表示半径等于1的单位圆的内部，两个区域的中心重合，事件“221xy„”发生的概率78.54%4P；对比四个选项，故选A．8．（2020•河南模拟）黄金三角形有两种，一种是顶角为36的等腰三角形，另一种是顶角为108的等腰三角形．例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108的黄金三角形组成，如图所示，在黄金三角形1AAB中，1512AAAB．根据这些信息，若在正五边形ABCDE内任取一点，则该点取自正五边形11111ABCDE内的概率是()A．352B．7352C．354D．7358【答案】B【解析】如图示：，在ABC中，过点B作BHAC，垂足为H，设2AB，由题意知1151AAAB，136AAB，9在△1AAB中，由余弦定理得：2222221111()2(51)(51)51cos2422(51)ABAAABAABABAA，在RTABH中，得：151cos4AHAABAB，5151512442AHAB，115135(51)22AHAHAA，111235ABAH，正五边形ABCDE与正五边形11111ABCDE的面积分别记作1S，2S，正五边形ABCDE与正五边形11111ABCDE相似，22211135735()()22SABSAB，若在正五边形ABCDE内任取一点，则该点取自正五边形11111ABCDE内的概率是7352，故选B．9．（2020•东湖区校级模拟）圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的4倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使||POr„的概率为()A．13B．12C．23D．34【答案】C【解析】根据题意，设圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，其底面面积2Sr，侧面积2Srh侧，若侧面积是底面积的4倍，即224rhr，则有2hr，则圆柱的体积232Vrhr，若||POr„，则P在以O为球心，半径为r的球内，其体积343rV，若在圆柱内任取一点P，则使||POr„的概率3342323rVPVr；10故选C．10．（2020•桃城区校级模拟）在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为()A．66B．1212C．6D．12【答案】B【解析】根据题意，在ABC中，3BC，4AB，5AC，点P到三个顶点距离小于1的区域面积为三个扇形面积之和，即122S，ABC的面积等于6，则点P到三个顶点距离都大于1的概率1221612P；故选B．11．（2020•达州模拟）在矩形ABCD中，1AB，2AD，E是AD中点，在矩形ABCD内（包括边界）随机取一点F，事件||1AFAE„发生的概率为()A．4B．2C．12D．14【答案】A【解析】矩形ABCD中，1AB，2AD，E是AD中点，在矩形ABCD内（包括边界）随机取一点F，事件||1AFAE„即：||1EF„，如图所示：11所以211224SPS阴影矩形．故选A．12．（2020•南岗区校级四模）5月25日哈市高三学生再次复课，老师们每天早上需要为学生测温，学校考虑老师的身体健康，每天安排食堂为老师们送早餐．高三学年任主任早晨在6:30~7:00之间到达办公室为送餐员开门，送餐员在早晨6:45~7:00之间到达办公室，则任主任在送餐员之前到达办公室的概率为()A．12B．58C．34D．78【答案】C【解析】设送餐员到达的时间为x，任主任到达的时间为y，记任主任在送餐员之前到达办公室为事件A；以横坐标表示送餐员到达的时间，以纵坐标表示任主任到达的时间，建立平面直角坐标系，构成区域如图示：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示任主任在送餐员之前到达办公室，即事件A发生，所以P（A）1(1530)153215304，故选C．13．（2020•河南模拟）如图，边长为3的正方形ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至BC，点E为线段DC上的点，且1CE，则在旋转的过程中，BP与线段EC有交点的概率为()12A．13B．12C．23D．14【答案】A【解析】如图，设ABP，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至BC，则[0，]2．连接BE，1EC，3BC，13tan33EBC，可得6EBC，在旋转的过程中，BP与线段EC有交点的概率为1632P．故选A．14．（2020•运城模拟）在区间[3，15]上随机取一个数，其满足3log2x…的概率是()A．12B．13C．23D．16【答案】A【解析】由3log2x…，得9x…．故由几何概型得，所求概率为15911532P．故选A．15．（2020•葫芦岛二模）已知曲线22:2(0)Cxyxy…，曲线C与坐标轴围成封闭图形M以及函数3yx的部分图象如图所示，若向M内任意投掷一点，则该点落入阴影部分的概率为()13A．12B．14C．16D．18【答案】A【解析】如图