20202021学年高考数学考点第十章统计与概率随机事件的概率与古典概型理

1随机事件的概率与古典概型1．概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式2如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．4．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．5．古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.概念方法微思考1．随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？提示随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．2．随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？提示当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．1．（2018•新课标Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7【答案】B【解析】某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：10.450.150.4．故选B．2．（2020•新课标Ⅰ）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A．15B．25C．12D．45【答案】A【解析】O，A，B，C，D中任取3点，共有3510C种，即OAB，OAC，OAD，OBC，OBD，OCD，ABC，ABD，ACD，BCD十种，3其中共线为A，O，C和B，O，D两种，故取到的3点共线的概率为21105P，故选A．3．（2020•新课标Ⅱ）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A．10名B．18名C．24名D．32名【答案】B【解析】第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850名，故选B．4．（2019•新课标Ⅲ）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A．16B．14C．13D．12【答案】D【解析】方法一：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有323212AA种排法，再所有的4个人全排列有：4424A种排法，利用古典概型求概率原理得：121242p，方法二：假设两位男同学为A、B，两位女同学为C、D，所有的排列情况有24种，如下：()()()()()()ABCDABDCACBDACDBADCBADBC()()()()()()BACDBADCBCADBCDABDACBDCA()()()()()()CABDCADBCBADCBDACDABCDBA()()()()()()DABCDACBDBACDBCADCABDCBA其中两位女同学相邻的情况有12种，分别为()ABCD、()ABDC、()ACDB、()ADCB、()BACD、()BADC、()BCDA、()BDCA、()CDAB、()CDBA、()DCAB、()DCBA，4故两位女同学相邻的概率是：121242p，故选D．5．（2019•新课标Ⅱ）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A．23B．35C．25D．15【答案】B【解析】法一：由题意，可知：根据组合的概念，可知：从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为35C，恰有2只测量过该指标的所有情况数为2132CC．21323535CCpC．法二：设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只中任取3只的所有取法有{a，b，}c，{a，b，}A，{a，b，}B，{a，c，}A，{a，c，}B，{a，A，}B，{b，c，}A，{b，c，}B，{b，A，}B，{c，A，}10B种，其中恰好有两只做过测试的取法有{a，b，}A，{a，b，}B，{a，c，}A，{a，c，}B，{b，c，}A，{b，c，}6B种，故恰有两只做过测试的概率为63105．故选B．6．（2019•新课标Ⅰ）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A．516B．1132C．2132D．1116【答案】A【解析】在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数6264n，5该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数3620mC，则该重卦恰有3个阳爻的概率2056416mpn．故选A．7．（2018•全国）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在两端的概率()A．45B．35C．25D．15【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁、戊站成一排，基本事件总数55120nA，甲不在两端包含的基本事件个数44372mA，甲不在两端的概率7231205mpn．故选B．8．（2018•新课标Ⅱ）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3【答案】D【解析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有2510C种，其中全是女生的有233C种，故选中的2人都是女同学的概率30.310P，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率30.310P，故选D．9．（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A．112B．114C．115D．1186【答案】C【解析】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有21045C种，和等于30的有(7,23)，(11,19)，(13,17)，共3种，则对应的概率314515P，故选C．10．（2017•天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A．45B．35C．25D．15【答案】C【解析】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数2510nC，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数11144mCC，取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为42105mpn．故选C．11．（2017•山东）从分别标有1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A．518B．49C．59D．79【答案】C【解析】从分别标有1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有2936C种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有115420CC种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率205369P，故选C．712．（2017•新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A．110B．15C．310D．25【答案】D【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数5525n，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共有10m个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率102255p．故选D．13．（2020•天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为___________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为___________．【答案】16，23【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13，则111236，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11121(1)(1)12333，故答案为：16，23．14．（2019•新课标Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________．【答案】0.98【解析】经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：1(100.97200.98100.99)0.98102010x．故答案为：0.98．815．（2020•江苏）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是___________．【答案】19【解析】一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6636种，而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，则点数和为5的概率为41369P．故答案为：19．16．（2019•全国）若5个男生和2个女生随机排成一行，则两端都是女生的概率为___________【答案】121P【解析】5个男生和2个女生随机排成一行，总共有种77A排法；两端都是女生的排法有：151251AAA种；由古典概型可得两端都是女生的概率为：15125177121AAAPA；故答案为：121P．17．（2019•上海）某三位数密码，每位数字