概率论与数理统计重要知识点及公式总结

一、事件间的关系及运算1.用A，B，C表示事件间的运算关系2.事件的互不相容、对立∅=ABABAB+=Ω=∅且二、概率的定义及其计算1.古典概型().mAPAn==Ω所包含基本事件的个数包含基本事件的总数第一章概率论的基本概念2、几何概型()ASPASΩ=三、概率的性质及其计算121212(1),,,,()()()()nnnAAAPAAAPAPAPA+++=+++若是两两互不相容的事件则有2()()=()()ABPBAPBABPBPAB∀−=−−（）对于，有()()PBAPBA−=(3),()1()AAPAPA=−设是的对立事件则(4)()()()()()PABPAPBPAB=+−加法公式可推广到有限多个事件和的情况四、条件概率与乘法公式1.条件概率的计算1()(/)()PABPBAPA=（）利用公式2（）利用缩减的样本空间的方法2、乘法公式()()(/)()0PABPAPBAPA=（）12121312121()()(/)(/)(/)nnnPAAAPAPAAPAAAPAAAA−=3、全概率公式与贝叶斯公式1(1)()()(/)niiiPBPAPBA==∑()(/)(2)(/),(1,2,,)()jjjPAPBAPABjnPB==五、事件的相互独立性()()()PABPAPB=1,,2,3,4.ABABABAB下列四个命题等价：（）相互独立（）与相互独立（）与相互独立（）与相互独立12,,,nAAA为相互独立的事件1212()()()()kkiiiiiiPAAAPAPAPA=第二章随机变量及其分布一、常用分布（结合第四章）二、分布函数及其性质(){}FxPXx=≤00000{}{}{}()()PXxPXxPXxFxFx−==≤−=−);,(,1)(0)1(∞−∞∈≤≤xxF);(),()()2(2121xxxFxF≤(3)()lim()0,()lim()1;xxFFxFFx→−∞→+∞−∞==+∞==).(),()(lim)4(000∞−∞=+→xxFxFxx三、概率密度的概念与性质;0)()1(≥xf;1d)()2(=∫∞+∞−xxf2112(3){}()d;xxPxXxfxx≤==∫(4)()()()()dxFxfxFxftt−∞′==∫四.正态分布的性质及其结论（与第四章结合）22()21(),2πxμσXfxexσ−−=−∞+∞的概率密度为（）21~(,)XNμσ（）2(),()EXμDXσ==221(),,2πxxexϕ−=−∞∞~(0,1)XN2(2)~(,){}{}=XNcXdPcXdPdμcμσσµσµµµσσσ−−−≤≤=≤≤−−Φ−Φ正态分布的计算(3)α标准正态分布的上分位点()1zααΦ=−24~(,),(0).XNμσXYaXba=+≠（）则的线性函数也服从正态分布五、随机变量的函数的分布1、离散型随机变量的函数的分布（利用表格计算）{}{}()()(1,2,)ijijjiigxygxyPYyPXxpi=======∑∑2、连续型随机变量的函数的分布（1）分布函数法;1yXYΩ（）先由的定义域确定的值域(2).yYyFy∀∈Ω（）由求(){}{()}{()}()yYXGFyPYyPgXyPXGyfxdx=≤=≤=∈=∫()(3)YyfyFy′=（）由分布函数求导，求概率密度（2）公式法[()](),,()0,.XYfhyhyαyβfy′=　　其他()ygx=在区间上单调第三章多维随机变量及分布一、联合分布函数及其性质(,){,}FxyPXxYy=≤≤5条性质二、联合分布律与联合概率密度性质110,1.ijijijpp∞∞==≥=∑∑1、(2)(,)dd1.fxyxy+∞+∞−∞−∞=∫∫3{(,)}(,)dd.GPXYGfxyxy∈=∫∫（）.0),()1(≥yxf2.联合概率密度性质{(,):(,)0},Dxyfxy=≠若{(,)}(,)dd(,)dd(,)dd,,0,.GDGDGPXYGfxyxyfxyxyfxyxyDGDGφφ∩∩∈==∩≠=∩=∫∫∫∫∫∫2(,)(4)(,)(,)(,)ddyxFxyfxyxyFxyfuvuv−∞−∞∂=∂∂=∫∫三、边缘分布1、边缘分布函数及其性质()(,)XFxFx=+∞()(,)YFyFy=+∞2、离散型随机变量的边缘分布律的计算3、连续型随机变量的边缘概率密度计算()(,)d()(,)dXYfxfxyyfyfxyx+∞−∞+∞−∞==∫∫四、两个常用的分布1.均匀分布1,(,),(,)0,.xyDfxyS∈=其他2.二维正态分布),,,,(~),(222121ρσσμμNYX二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,221122~(,);~(,)XNYNµσµσ2212121(,)~(,,,,),0.XYNXYµµσσρρ=（）服从二维正态分布则与相互独立的充分必要条件是参数(2),;ρXY二维正态分布密度函数中参数代表了与的相关系数(3).XYXY　二维正态随机变量与相关系数为零等价于与相互独立五、随机变量的独立性的判定(,)()()XYFxyFxFy=　1　、利用定义2、离散型{,}{}{}.ijijijijXYPXxYyPXxPYyppp••⇔======⋅和相互独立即3、连续型(,)()().XYXYfxyfxfy⇔=和几乎相互独立处处成立六、正态变量的结论（与第四章结合）221122221212,~(,),~(,).,~(,).XYXNμσYNμσZXYZNμμσσ=+++相互独立且则仍然服从正态分布且有有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,~1,2),~(2,4).21XYXNYNZXY=+−例相互独立且（则（）~(1,12)ZN−七、两个随机变量的函数的分布1、离散型（列表计算）2、连续型（1）.分布函数法（2）、几个常用随机变量函数的分布1.Z=X+Y的分布()(,)dZfzfxzxx+∞−∞=−∫()(,)dZfzfzyyy+∞−∞=−∫2.,,max(,)min(,)XYMXYNXY==相互独立及的分布max(){}()()XYFzPMzFzFz=≤=min(){}1[1()][1()].XYFzPNzFzFz=≤=−−−第四章随机变量的数字特征一、常用分布的数字特征（结合第二章）二、数学期望及其性质1、离散型1()kkkEXxp∞==∑2、连续型()()dEXxfxx+∞−∞=∫3、数学期望的性质,().ECCC=1.设是常数则有()()()EaXbYaEXbEY+=+2.()(),)(EXYEXYXEY=3.设相互独立[(g()()][()][()]EXhYEgXEhY⋅⇒=二、方差及其性质22()()[()]DXEXEX=−22()()[()]EXDXEX=+1、方差计算公式2、方差的性质,()0.CDC=（1）设是常数则有2()().,,DCXCXCDX=（2）设是一个随机变量是常数则有22()(,,)()DaXbYcaDXXbDYY++=+（3）设相互独立则2222(4)()()()2Cov(,)()()2()()XYDaXbYaDXbDYabXYaDXbDYabDXDYρ+=++=++四、随机变量函数的数学期望1.一维随机变量函数的数学期望1()(())().kkkEYEgXgxp∞===∑()(())()()d.EYEgXgxfxx+∞−∞==∫2.二维随机变量函数的数学期望11()=[(,)](,)ijijijEZEgXYgxyp∞∞===∑∑()=[(,)](,)(,)ddEZEgXYgxyfxyxy+∞+∞−∞−∞=∫∫()(,)ddEXxfxyxy+∞+∞−∞−∞=∫∫()(,)ddEYyfxyxy+∞+∞−∞−∞=∫∫()()d()()dXYEXxfxxEYyfyy+∞−∞+∞−∞==∫∫[()]()(,)dd()()dXEgXgxfxyxygxfxx+∞+∞−∞−∞+∞−∞==∫∫∫[()]()(,)dd()()dYEgYgyfxyxygyfyy+∞+∞−∞−∞+∞−∞==∫∫∫五、协方差及相关系数及其性质1、协方差计算Cov(,)()()()XYEXYEXEY=−Cov(,)()()XYXYDXDYρ=2、相关系数计算Cov(,)()()XYXYDXDYρ=3.性质);,Cov(),Cov()1(XYYX=(2)Cov(,)Cov(,),,;aXbYabXYab=为常数).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX+=+(4)1.XYρ≤(5)1:,{}1.XYρabPYabX==+=的充要条件是存在常数使0000(1)1cov,)0;20;3()()();4()()().XYXYXYEXYEXEYDXYDXDYρ===±=+与不相关，则（4.一些结论(2)0,XYXYXYρ=若与独立，则即与不相关；反之不一定。第五章大数定律与中心极限定理一、切比雪夫不等式22{|()|}PXEXσεε−≥≤22{|()|}1PXEXσεε−≥−或二、大数定律的结论三、中心极限定理的应用1、独立同分布的中心极限定理()1(),()nkkYXNEYDY==∑2、德莫佛－拉普拉斯定理(,)XBnp随机变量(),XNnpnpq第六章数理统计的基本概念一、三大抽样分布及其性质分布2.1χ2222212(0,1)~)inXNXXXnχχ=+++，独立（22222212(,)~)inXNXXXnµσµµµχχσσσ−−−=+++，独立（1、三大抽样分布的构成2.t分布2~(0,1),~(),,,~()./XNYnXYXttnYnχ=设且独立3.F分布22121122~(),~(),,,/~(,)/UnVnUVUnFFnnVnχχ=设且独立2、性质21()χ（）分布的可加性2222221122122221212~(),~(),,,~().nnnnχχχχχχχχχ++设并且独立则22()χ（）分布的数学期望和方差.2)(,)(),(~2222nDnEn==χχχχ则若12211~(,),~(,).FFnnFnnF（3）若则3、三大抽样分布的上分位点212222,(),(),,,,,:();(),()nXEXDXXXXEXDXESnµσσµσ=====设总体存在二阶矩且为总体的一个样本则有二、重要结论2122,,,,:(,)nXNXXXXNnµσσµ特别地（，），为总体的一个样本则有21222222,,,(,),,,(1)~(0,1);/(1)(2)~(1);(3);(4)~(1)./nXXXNXSXNnnSnXSXTtnSnµσµσχσµ−−−−=−设是来自正态总体的样本分别是样本均值和样本方差则有与独立三．单正态总体的抽样分布12122212()((1)~(0,1)XYUNnnµµσσ−−−=+）四．双正态总体的抽样分布222121212122222112212(2),()()~(2),11(1)(1),.2σσσµµ==−−−+−+−+−==+−当时其中2211122222/(3)~(1,1)./SFnnSσσ−−第七章参数估计一、矩估计法与最大似然估计法1、矩估计方法),,2,1(),(),,,(21mkXEkmkk===θθθµµ1211(,,,),(1,2,)nkkmiiXkmnµθθθ===∑1212ˆˆˆ,,,,,,mmθθθθθθ用方程组的解分别作为的估计量2．求最大似然估计量的方法:121121()()(,,,;)(;)()(,,,;)(;);nniinniiLLxxxpxLLxxxfxθθθθθθ======∏∏一写出似然函数或11()ln()ln(;)ln()ln(;);nniiiiLpxLfxθθθθ====∑∑二取对数或（1）．微分法dln()dln()(),0,ddˆ.LLθθθθθθθ=三对求导并令解方程即得未知参数的最大似然估