高等数学第九章基本概念

推广第九章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用目录上页下页返回结束第九章第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念目录上页下页返回结束δPP00一、区域1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,),(),(0yxδPU(圆邻域)在空间中,),,(),(0zyxPU(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成.)(0PU点P0的去心邻域记为δPP0目录上页下页返回结束在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为(),(),0yxδPU。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.目录上页下页返回结束2.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含EE则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.目录上页下页返回结束(2)聚点若对任意给定的,点P的去心E邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E的导集.E的边界点)目录上页下页返回结束D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;目录上页下页返回结束例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyOxy21OxyOxy21O目录上页下页返回结束整个平面点集1),(xyx是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.11对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无xyO目录上页下页返回结束二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式cbahr目录上页下页返回结束定义1.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集DP,Pfuu)(称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作目录上页下页返回结束xzy例如,二元函数221yxz定义域为1),(22yxyx圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.,)sin(,yxz又如的图形一般为空间曲面.12),(Ryx三元函数)arcsin(222zyxu定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球xyzOOO目录上页下页返回结束三、多元函数的极限定义2.设n元函数,(nDPPfR),点,,),(0δPUDP则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0是D的聚若存在常数A,对一记作Ayxfyyxx),(lim00都有对任意正数,总存在正数,切目录上页下页返回结束例1.设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证:.0),(lim00yxfyx证:故0),(lim00yxfyx,0ε,022时当δyx22yx,εδ总有ε要证目录上页下页返回结束例2.设0,00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：0),(yxf故0),(lim00yxfyx,0εyx,2εδ时，当δyxρ220总有ε要证目录上页下页返回结束若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于,),(000时yxP不存在.例3.讨论函数函数目录上页下页返回结束例4.求解:因,)(2224122yxyx而620)cos1(4limrrr此函数定义域不包括x,y轴,222yxr令则62)cos1(4rr6402limrrr2cos1r2~4r故目录上页下页返回结束仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.注.二重极限),(lim00yxfyyxx不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx,0但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.例3目录上页下页返回结束四、多元函数的连续性定义3.设n元函数)(Pf定义在D上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上,0DP聚点如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续.连续,目录上页下页返回结束例如,函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.122yx故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.目录上页下页返回结束定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则)()2(Pf*(4)f(P)必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意，DQ(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)目录上页下页返回结束.11lim00yxyxyx解:原式21例5.求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例6.求函数的连续域.解:02yx2yx111lim00yxyx2Oyx2目录上页下页返回结束内容小结1.区域•邻域:,),(0δPU),(0δPU•区域连通的开集•空间nR2.多元函数概念n元函数),,,(21nxxxf常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数DP)(PfunR目录上页下页返回结束APfPP)(lim0,0ε,0δ时，当δPP00有εAPf)(3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P62题2;4;5(3),(5)(画图);8P130题3思考与练习目录上页下页返回结束解答提示:P62题2.称为二次齐次函数.P63题4.P63题5(3).定义域P63题5(5).定义域2xyDyxORxyoDrzO目录上页下页返回结束P63题8.间断点集P130题3.定义域)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2Dxy42yx1目录上页下页返回结束练习题1.设求解法1令,2xyuyxv),(2yxxyf222yxy目录上页下页返回结束1.设求解法2令),(2vuuvf即222yxy),(2vuuvf目录上页下页返回结束2.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又220yxyx)0,0(f故函数在全平面连续.由夹逼准则得