第章马尔科夫预测法

1Marketsurvey&Forecast市场调查与预测(9)第九章马尔科夫预测法武汉理工大学出版社2第九章马尔科夫预测法第一节马尔科夫预测的基本概述第二节马尔科夫预测法的程序第三节市场占有率预测第四节期望利润率预测3马尔科夫预测法马尔科夫预测法是应用随机过程中的马尔科夫链的理论和方法研究有关经济现象的变化规律及对未来预测的一种方法。在市场预测中，有很多经济现象与自然现象中一样一种特性—“无后效性”。4无后效性系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻的状态，而与其过去历史状态无关。例如，随机过程中一个典型“无后效性”的例子:池塘里有三张荷叶，我们将它们编号为1，2，3，有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去，假设在初始时刻t0，它在第二张荷叶上。在时刻t1，它有可能跳到第一张荷叶或第三张荷叶上，也有可能在原地不动。5我们将青蛙某个时刻所处于荷叶的位置称为青蛙所处的状态。这样，青蛙在未来t1时刻所处于的状态，只与它现在时刻t0有关，而与t0以前所处的状态无关。在经济领域中，也存在着这种大量的“无后效性”，因此，马尔科夫预测法是市场预测的常用的方法，同时这种方法被广泛的应用其他的各个领域。下面，我们就应用马尔科夫链的这种特性来研究经济现象中的“无后效性”的问题。6第一节马尔科夫预测的基本概述一、马尔科夫链定义是一种随机时间序列，它未来取值只与现在有关，而与过去无关，即:无后效性，系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻的状态，具备这一特性的离散型随机过程被称为马尔可夫链。二、马尔科夫链特点1.无后效性；2.离散性。7三、马尔科夫预测法是根据对事件的不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率，来确定事件未来状态。四、条件概率(转移概率)定义：在事件B已经发生的条件下，事件A在给定B下的条件概率，称为A对B的条件概率，记为P（A|B）。把P（A）称为无条件概率。8概率基本概念回顾1盒子里有15件产品，其中次品3件，现作不回放随机抽样，每次取一件。试问：第一次取到次品的条件下，第二次仍取到次品的概率是多少？解：设第一次取到次品为事件A，第二次取到次品为事件B，则有：第一次取到次品为P（A）=3/15，P（B|A）=2/14=1/79四、全概率事件当事件A1，A2，A3，…，Ai，…构成一个完备事件组，则对任何一个事件B，有：（1）称为全概率公式。特别指出：一般情况下，)|()P(AP(B)iiiABP）（）（）时（）（只有）（）（ABPBAPBPAPABPBAP||||10概率基本概念回顾2全年级100名学生，有男学生（以事件A表示）80人，女生20人；来自北京的（以事件B表示）有20人；其中男生12人，女生8人；免修英语的（用事件C表示）40人中有32名男生，8名女生。试写出：P（A），P（B），P（B|A），P(A|B)，P（AB）,P（C）,P（C|A）,P（AC），)|(BAP11解：P(A)=80/100=0.8，P(B)=20/100=0.2P(B|A)=12/80=0.15，P(A|B)=12/20=0.6，P(AB)=12/100=0.12，P(C)=40/100=0.4P(C|A)=32/80=0.4，P(AC)=32/100=0.32ABA∪B15.0801220100820)|(BAP12五、状态与状态转移概率1、状态在前面的例子里，青蛙所处在的荷叶位置，称为青蛙所处的状态。在市场预测中，某一种经济现象在某一时刻t所出现的结果，则称之为在t时刻所处的状态。一般情况下，把随机系统里的随机变量Xt在t时刻所处的状态i表示为：itnii,,2,1,,,2,1Xt132、状态转移概率由于状态是随机的，因此，用概率来描述状态转移的可能性的大小，这个概率称为状态转移概率。对于某事件由状态Ei转移到Ej的概率，称为从i到j的转移概率。记为：）（ixjxEEPEEPnnjiij|P)()|(P1ij14实际问题应用1某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品有1000个用户，假定在研究期间无新用户加入也无老用户退出，只有用户的转移。已知2006年5月份，甲、乙、丙三厂拥有用户的份额分别为500、400、100户。6月份，甲的原用户中有400户留在甲，有50户转移到乙，50户转移到丙；乙原400户中有300户留在乙，有20户转移到甲，有80户转移到丙；在丙厂原100户中有80户留在丙，有10户移到甲，有10户移到乙。试计算各厂的转移概率。15甲500乙400丙10050504002080300101080状态转移图解：设甲、乙、丙原有用户所处的状态为1、2、3。则P11=400/500=0.8，P12=50/500=0.1，P13=50/500=0.1；P21=20/400=0.05，P22=300/400=0.75，P23=80/400=0.2P31=10/100=0.1，P32=10/100=0.1，P33=80/100=0.8。16六、状态转移概率矩阵设某事件有E1、E2……，En种状态，而且每次只能处于一种状态中，则每一个状态都具有n个转向(含转向本身)。即第i种状态Ei可以是EiE1，EiE2，……，EiEn，P(EiEj)=P(Ej|Ei)=Pij，共有n个转移概率：Pi1，Pi2，…Pii，…,Pin。当把Pij作为第i行，则n个状态（j=1，2，…，n）共有n行，其状态转移概率矩阵为：)2(PPPPPPPPPnnn2n12n22211n1211R将17njninji1ijij),,2,1(1P),,2,1,(1P0其矩阵特点：状态转移概率矩阵描述了事件的变化过程。矩阵（2）是一步状态转移概率矩阵，对于多步状态转移概率矩阵，可假定：系统在时刻t0处于状态i，经过N步状态转移后，在时刻tN处于状态j，那么，对这种具有N步转移的概率的数量描述称为N步转移概率。（3）18。）为二步转移概率矩阵（时，当步转移概率矩阵。）的（）称为（记为：224)()()()()()()()()()(Pi)x|jP(xij212222111211ij0NPNNNPNPNPNPNPNPNPNPNPNPNPnnnnnn（4）19第2步转移概率的计算可以由一步转移概率求出,即：kjnkikpp1ij)2(P（5）（5）的意义：系统从状态i出发，经2步转移到j的概率等于系统从状态i出发到状态k，其中k=1，2，…，N，然后再从状态k转移到j的概率的总和，由此得到：nnnnnPPPPP21222211n1211PPPPP(2)20nkknnkknkknkknnkknkknkknnkknkkppppppppp1nk12nk11nk12k122k112k11k121k111kppppppppp212NNN2N12N22211N1211NNN2N12N22211N1211NNN2N12N22211N1211pppppppppppppppppppppppppppnkjNkkkjNkkppNpNPpp11ij311ij)1()(p)2()3(p类似有：22例设一步转移矩阵为：)2(4.06.05.05.0PP求解：46054045055040405060604050604050505060505050....................24.06.05.05.0)2(P23某经济系统有三种状态E1（畅销）、E2（一般）、E3（滞销），系统状态转移情况如表所示，求系统的二步状态转移概率矩阵。表下步状态本步状态E1E2E3合计E12171442E21681236E3108220实际问题应用2242343231232221131211100040005000334022204440333016705000100040005000334022204440333016705000PPPPPPPPP..................(1)P(1)P(2)P20220820103612368361642144274221(1)Pijijijij解：25第二节马尔科夫预测法的程序一、马尔科夫链预测未来趋势的步骤马尔科夫链预测法通常是通过现在所处的状态来预测下一期可能出现的状态。其预测步骤如下：第一步，划分预测对象所出现的状态。第二步，计算初始概率。在收集到的资料中，分析历史数据而得到的状态概率就是初始概率。当有n个状态E1，E2，…，En，观察了m个时期26（6）其中状态Ei(i=1，2，…，n)共出现了mi次则有：mmiif（6）的经济含义是Ei出现的频率，用fi近似表示为iPif（i=1，2，…，n）(7)第三步，计算状态转移概率（用频率近似表示概率）首先计算状态由状态Ei转移到状态Ej的概率：，。再由第二步可得：jEiEijijijijP)E|f(Emm)E|f(E并令：（8）（9）)E|f(Eij27第四步，根据初始状态及转移概率进行预测。由第三步，可得到的状态转移概率矩阵Pij。当预测对象处于状态Ei时，Pij表示目前状态Ei在未来转向状态Ej(j=1，2，…，n)的可能性。按最大可能性作为选择的结果，即选择（Pi1，Pi2，…，Pin）中最大者作为预测的结果。28月1234567891011121314151617181920销售量404580120110384050629011013014012055704580110120实际问题应用表9-3商品销售量统计表某商店在最近20个月的商品销售量统计数据见表，试预测第21个月的商品销售量的状态。29解：第一步，划分状态。以月销售量为标准：（1）销售量60台，属于滞销状态；（2）60（台）≤销售量≤100（台），属于一般状态；（3）销售量＞100（台），属于畅销状态。第二步计算初始概率Pi；根据表中的数据，绘出销售量的散点图。并根据状态划分标准，画出状态分界线L1、L2第三步计算不同状态的转移概率Pij；第四步根据初始状态及转移概率进行预测.30畅销区L2平销区L1滞销区①②④③⑥⑤⑧⑦⑪⑭⑮（17）（16）（19）（18）t（20）⑬⑫⑩⑨Xi销售量散点图60100根据第一步，划分的状态，则有：滞销状态有M1=7个，①、②、⑥、⑦、⑧、⑮、（17）一般状态有M2=5个，③、⑨、⑩、（16）、（18）畅销状态有M3=8个，④、⑤、⑪、⑫、⑬、⑭、(19）、（20）31第三步计算状态转移概率矩阵。∵第（20）的状态在未来向那一个状态转移不能确定，∴将第（20）舍去。由图可知：M11=3（滞销→滞销）：①→②，⑥→⑦，⑦→⑧M12=4（滞销→一般）：②→③，⑧→⑨；⑮→（16），（17）→（18）M13=0（滞销→畅销）M21=1（一般→滞销）：（16）→（17）；M22=1（一般→一般）：⑨→⑩；M23=3（一般→畅销）：③→④，⑩→⑪，（18）→（19）M31=2（畅销→滞销）：⑤→⑥，⑭→⑮；M32=0（畅销→一般）：无32M33=5（畅销→畅销）④→⑤，⑪→⑫，⑫→⑬⑬→⑭，（19）→（20）；则转移概率矩阵为：757072535151707473P第四步∵第20个月的销售量为120（台），为畅销状态，32313333323175072PPPPPP；，，滞销一般畅销滞一般畅∴第21个月的销售量超过100台的可能性极大