拓扑学

点集拓扑学主讲人：吴洪博第一章集合论初步§1.2关系,等价关系§1.1集合§1.3映射§1.4集族及其运算§1.5可数集，不可数集§1.6基数§1.1集合重点:熟悉有关集合的等式和性质难点:有关集合的有限笛卡尔积的等式和性质集合一词，我们在高中阶段已经接触过，在那里，集合是指具有某种属性的对象的全体.在这里，我们仍采用对集合的这种直观的描述性定义，以后我们还将经常遇到像这样直观的描述性定义或一些直观的结论.虽然这样做逻辑性差一些，不及公理集合论的严密性，但这样做却是我们易于理解和接受的，不致使读者陷入逻辑困惑之中，从而尽快地进入拓朴学基础的学习程序.BA定义1.1.1对于两个集合A,B,如果A的每个元素都是集合B的元素,我们称A包含于B,或B包含A,或A是B的子集,记作.BAByBA如果，而且存在使得，称A是B的真子集，记作.BA如果AB，同时记作A=B.，称集合A与集合B相等，不含任何元素的集合称为空集，用符号表示.规定空集是任意集合的子集.含有有限个元素的集合叫做有限集，不是有限集的集合叫做无限集.BA定义1.1.2给定集合A,B,由A与B的全部元素构成的集合叫做A与B的并集,记作.},|{BxAxxBA或用描述法表示是:.BA定义1.1.3给定集合A,B,由A和B的公共元素构成的集合叫做A与B的交集,记作.}xB用描述法表示就是:,|{AxxBA而且.BA定义1.1.4给定集合A,B，把由属于A而不属于B的元素构成的集合叫做A与B的差集,记作.},|{BxAxxBA用描述法表示是.而此时可称B为全集，全集在一个问题中是事先指定的或者是不言自明的.AABBA如果,称为A在B中的补集，记作.对于集合之间的运算，有时用图象表示更直观一些.在下面的图1.1.1中，我们用两个圆分别表示集合A,B，而用阴影部分表示两个集合运算的结果.图1.1.1)()()()(ABBABABBABA观察图1.1.1我们不难得出下面的等式:BA这样做的好处在于将并集转化成互不相交的集合并集.该集合等式也可以用定义证明.集合中的运算律设X是全集，A，B，C是X的子集，则以下运算律成立：(1)交换律ABBAABBA,(2)结合律)()(),()(CBACBACBACBA(3)零元,单位元AXAAA,(4)吸收律ABAAABAA)(,)(),()()(CABACBA)()()(CABACBA(5)分配律(6)幂等律AAAAAA,(7)对合律AA(8)对偶律BABABABA)(,)((9)互补律AAXAA,以上运算定律由定义或作图不难验证,我们仅以对偶律的验证为例,其余读者自己完成.图1.1.2.BABA)(AB)(BA图(a)中阴影部分表示,图(b)中右斜线表示，左斜线表示.由图1.1.2可得：.},|),{(YyXxyxYX(,)xyYX,YyXx,YX定义1.1.5对给定的非空集合我们把由二元有序对(其中)构成的集合叫做X与Y的笛卡用描述法表示是:尔积，记作XX2X其中x是第一个坐标,y是第二个坐标,X称为第一个坐标集,Y称为第二个坐标集.特别地，记为称为X的二重笛卡尔积.(,),(,)xyxyR对于有序对及笛卡尔积，读者并不陌生，我们学过的笛卡尔直角坐标系中的点就是有序数对,因而整个直角坐标系平面就是集合R的二重笛卡尔积R2(R表示实数集合).虽然对于任意给定集合,它们的元素不必有序,但我们可以把集合的元素串在一起,这样就可用线段或直线表示集合.进而将集合的笛卡尔积就可用“平面图形”直观的表现出来.)()()()(DCBDBACADCBA)()(DCBDBADBCAYDCXBA,,,例1.1.1设由下面的图1.1.3很容易得（A-B）×（C-D）图1.1.3该集合等式也可用定义证明,其过程读者自己做为练习完成.习题1.11.试判断下列关系式的正确与错误{};AA{};AA{};{};{};();的元素.nAAA,,,212n121AAAAnnAAA212.设都是集合，其中,证明：如果,则12{,,,}nXxxxn3.设，即X有个互不相同的元素，X的幂集P(X)有多少个互不相同4.设},,,{dcbaX，用列举法给出P(X).BAAABBBAAB5.设A，B是集合，证明的充要条件是,，的充要条件是.且BAAABB)(6.设A，B都是集合,证明:若，则.；,ACBABA)()(BAABBABA7.设某一个全集已经给定，证明②①XBABA,BAAB③若，并且，则④)()()(21212211BBAABABA8.设A，B，C，D是全集X的子集,试判断下列命题的正确性.若正确，给出证明，若不正确，给出反例.BBAA)(BAABA)()()()(CABACBA)()()(CABACBA①②③④()(),()()ABABAABABDBDCBA⑤⑥若，则DCBA,ACBD⑦若，则)()()()(DBCADCBA)()()()(DBCADCBADBCADCBA)()(⑧⑨⑩，AxxE(|{9.设A，B，C表示集合，试用A，B，C及集合运算符号表示下面集合.AxxD|{)}(CxBx或而且})CxBx或而且，AxxF|{)}(CxBx而且，§1.2关系,等价关系重点：熟悉关系像，逆关系，复合关系和等价关系的性质难点：对命题演算知识的欠缺将影响性质证明的严谨性YXYXR定义1.2.1设X,Y是两个集合,如果,即R是X的一个子集,则称R是从X到Y的与Y的笛卡尔积一个关系.YXR定义1.2.2设R是从集合X到集合Y的一个关系,即Ryx),(.(1)如果,则称x与y是R相关的,并且记作xRy;XA,则称Y的子集(2)如果(){|RAyBAx}xRy存在使得A的象集,或者称为集合A的R象,R(X)称为关系R的值域;为集合A相对于关系R而言的象集,或者简单地称为集合YB(3)如果,则称X的子集:1(){|RBxXBy存在使得}xRy为集合B相对于R)(1YR称为关系R的定义域.的原象集,或者简单地称为集合B的原象,或者称为集合B的R原象,YX关系，一个是自身，一个是进行简单地考查.关系是一个外延十分广泛的概念.读者很快便会看到在数学学科中学过的映射，等价,运算，序等概念都是关系的特例，这里有两个特别简单的从集合X到集合Y的，请读者自己对它1{(,)|,,}RyxYXxRyxXyYYXRXY定义1.2.3设R是从集合X到集合Y的一个关系,即,这时笛卡尔积的子集:是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，因此当且仅当.1yRxxRy显然，若YB，集合B相对于关系R-1的象集就是集合B相对于关系R的原象集.特别地关系R-1的值域就是关关系R的定义域.集合,.RXYSYZ定义1.2.4设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从集合Y到集合Z的一个关系,即|),{(zxYy,}xRyySz存在使得ZX是笛卡尔积.RzxSYy,.xRyySz当且仅当存在使得因此RS1()().RXSZ显然，当且仅当.SR系R与关系S的复合,记作X的一个子集,即从到的一个关系,Z称此关系为关定理1.2.1设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从集合Y到集合Z的一个关系,T是从集合Z到集合U的一个关系,则(1)RR11)((2)111)(SRRS(3)RSTRST)()(证明：(1)11)(),(RyxyRx11)(当且仅当,当且仅当xyR1xRy(,).xyR11().RR,而这当且仅当,这又当且仅当于是我们证明了.(2)和(3)的证明类似于(1)，可根据定义直接验证,请读者自己完成.定理1.2.2设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从A和B,我们有:集合Y到集合Z的一个关系,则对于X中的任意两个子集(1))()()(BRARBAR(2)()()()RABRARB(3)()()(())SRASRA(4)()()()RARBRAB，，，AxxRyBxxRy仅当存在或存在，,当且仅当.,，)(BARy证明(1)BAx当且仅当存在使得xRyAxBxxRy当且仅当存在或存在使得当且)()(BRARy.)(ARy)(BRy或，当且仅当于是我们证明了)()()(BRARBAR.)(BARyBAxxRy(2)设，则存在使得即存在AxBx.xRy，使得因此()().yRARB)(ARSzAx,xSRzAx(3)由于当且仅当存在使得当且仅当存在使得YyySzxRy,)(ARyySA(存在使得当且仅当存在使得.)，)()(BRARy)(),(BRyARy(4)设,即.AxxRy因此存在，使得.BxxRy)(BRy此时假设，由于，因此，)(BRy这与,Bx矛盾，因此因此存在xRyBAx,)(BARy，因此，()()().RARBRAB}|),{(Xxxx)(X定义1.2.5设X是一个集合,从集合X到集合X的一个称为恒同关系，或恒同、对角线.记作或.关系简称为集合X中的一个关系.集合X中的关系:(),XRxXxRx定义1.2.6设R是集合X中的一个关系,如果即对于任意,有,则称关系R为自反的;如果1RRXyx,xRy.yRx,即对于任何,如果,则则称关系R为对称的;1RR如果,即对于任何,,xyXxRyyRx和不能同时成立,则称关系R为非对称的;RRRXzyx,,如果,即对于任何,如果,xRyyRz，则xRz，则称关系R是传递的.定义1.2.7设R是集合X中的一个等价关系.集合X中的两个元素x,y,如果满足条件:xRy,则称x与y是R等价的,或简称等价的;对于每一个Xx,集合X中的子集}|{xRyXy称为x的R等价类或等价类,记Rx][][x作或,并且任何一个Rxy][Rx][都称为R等价类的一个代表元素;,XxRxx][Rx][(1)如果则,因而.RRyx][][.}|]{[XxxR由等价类组成的集合称为集合X相对于RX.等价关系R而言的商集,记作.定理1.2.3设R是非空集合X中的一个等价关系,则:,,RyxRRyx][][(2)对于任意或者，或者,XxxRx,][RxxRx][证明：设由于R是自反的，所以，因此因而.有Xyx,RRyx][][(2)对于任意,如果,设RRyxz][][,如图1.2.1,因此必,zRxzRy,又由于RxRz,又由于R是传递的,所以xRy.是对称的,所以tRx,][Rxt对于任何一个有xRy，由上述以及R的传RRyx][][.[]RyRyt][，由定义即得.因此证明了zRy递性可得RRxy][][RRyx][][同理可证.因此.例1.2.1给出平面上的一个关系|)),(),,{((~2211yxyx,2222221122}xyxyRR),(~),(2211yxyx的意义是指和到原点的距离相等,容易验证11(,)xy22(,)xy(0,0)～是平面上的一个等价关系.相对于等价关系～2R2R而言的商集2~R为222{(,)|}|,0}xyxyrrRr，即商集是由单点集{(0,0)}和以原点为中心的所有圆周组成的集合.习题1.2},,{cbaX},,,{gfedY