20202021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程21212第2课时椭圆的标准方程及性质的应用教师用书

-1-第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学习目标核心素养1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)借助直线与椭圆的位置关系，培养学生直观想象与数学运算的素养.1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b21.2．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y得一个关于x的一元二次方程．位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ0相切一解Δ＝0相离无解Δ0思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？(2)直线y＝kx＋1与椭圆x24＋y23＝1有怎样的位置关系？[提示](1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆x24＋y23＝1的内部，因此直线与椭圆相交．3．直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．(2)求弦长的方法-2-①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.1．已知点(2,3)在椭圆x2m2＋y2n2＝1上，则下列说法正确的是()A．点(－2,3)在椭圆外B．点(3,2)在椭圆上C．点(－2，－3)在椭圆内D．点(2，－3)在椭圆上D[由题意可知4m2＋9n2＝1，∴点(2，－3)在椭圆上，故选D．]2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定C[联立y＝x＋1，x2＋y22＝1，消去y，得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．]3．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝12x＋1截得的弦长为________．35[由x2＋4y2＝16，y＝12x＋1，消去y并化简得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.∴弦长|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝54[x1＋x22－4x1x2]＝544＋24＝35.]直线与椭圆的位置关系-3-【例1】对不同的实数m，讨论直线y＝x＋m与椭圆x24＋y2＝1的位置关系．[思路点拨]联立两个方程―→消去y得到关于x的一元二次方程―→求Δ―→讨论Δ得结论[解]联立方程y＝x＋m，①x24＋y2＝1，②将①代入②得：x24＋(x＋m)2＝1，整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当Δ＞0，即－5＜m＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m＜－5或m＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ0⇔直线与椭圆相离.提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.[跟进训练]1．若直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1相切，则斜率k的值是()A．63B．－63C．±63D．±33C[由y＝kx＋2，x23＋y22＝1，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，-4-由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±63.]2．直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是________．54，5[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1,1)在椭圆内或在椭圆上．所以125＋12m≤1，即m≥54，又0m5，故m∈54，5.]弦长及中点弦问题【例2】过椭圆x216＋y24＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分．(1)求此弦所在的直线方程；(2)求此弦长．[思路点拨](1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．法二：点差法．(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．[解](1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝82k2－k4k2＋1.又M为AB的中点，∴x1＋x22＝42k2－k4k2＋1＝2，解之得k＝－12.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．又M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，则x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16.两式相减得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0.于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2＝－12，-5-即kAB＝－12.又直线AB过点M(2,1)，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＋2y－4＝0，x216＋y24＝1，得x2－4x＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋－122·42－4×0＝25.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成的方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，①②由①－②，得1a2(x21－x22)＋1b2(y21－y22)＝0，变形得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0，即kAB＝－b2x0a2y0.[跟进训练]3．已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则直线l的方程为________．x＋2y－8＝0[由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.设直线l与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，所以x1＋x2＝8k4k－24k2＋1＝8，所以k＝－12.所以直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y-6-－8＝0.]4．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．[解](1)由题意可知1－b2a2＝12，4a2＋2b2＝1，解得a2＝8，b2＝4，∴椭圆C的标准方程为x28＋y24＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，则x218＋y214＝1，①x228＋y224＝1，②①－②得x1＋x2x1－x28＋y1＋y2y1－y24＝0，∴kAB＝y1－y2x1－x2＝－4x1＋x28y1＋y2＝－12·xMyM.又kOM＝yMxM，∴kAB·kOM＝－12.∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.与椭圆有关的综合问题[探究问题]1．过(1,0)的直线有多少条？是否可以用y＝k(x－1)表示出来？提示：无数条．不可以，直线y＝k(x－1)不表示x＝1的直线．2．直线x＝ky＋1过哪个定点，是否表示过该点的所有直线？提示：直线x＝ky＋1表示过定点(1,0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y＝0.【例3】已知椭圆x22＋y2＝1，右焦点为F.直线l经过点F，与椭圆交于点A，B，且|AB|＝423.(1)求直线l的方程；(2)求△OAB的面积．-7-[思路点拨]设出直线方程，联立方程组，消元后利用根与系数的关系表示弦长，从而求出直线方程．[解](1)易知右焦点F(1,0)．当直线斜率不存在时，方程为x＝1；截得弦长为2b2a＝2×12＝2.故不合题意．即直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝kx－1，x2＋2y2－2＝0，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，∴x1＋x2＝4k21＋2k2，x1·x2＝2k2－21＋2k2.|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1·x2＝1＋k24k21＋2k22－4×2k2－21＋2k2＝1＋k21＋2k2×8＝423，解得k2＝1，即k＝±1.所以直线方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0，(2)原点到直线的距离d＝12＝22，所以S△OAB＝12|AB|·d＝12×432×22＝23.解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.[跟进训练]5．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，－32.(1)求椭圆方程；(2)过点－65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试-8-判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．[解](1)由题意设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由c＝3，a2＝b2＋c2，代入方程得x2b2＋3＋y2b2＝1，∵椭圆过点1，－32，得1b2＋3＋34b2＝1，解得b2＝1，∴a2＝4.∴椭圆的方程为x24＋y2＝1.(2)设直线MN的方程为x＝ky－65，联立直线MN和椭圆的方程可得x＝ky－65，x24＋y2＝1，得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2,0)，y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，则AM→·AN→＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，即可得∠MAN＝π2.∴∠MAN的大小为定值π2.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；-9-(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．1．判断正误(1)若点P(x0，y0)在椭圆x24＋y23＝1的内部，则有x204＋y2031.()(2)直线