20202021学年高中数学第3章导数及其应用31311变化率问题312导数的概念教师用书教案新人教

-1-3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学习目标核心素养1.了解导数概念的实际背景．(难点)2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)1．通过学习导数概念，培养学生数学抽象的素养.2.借助导数的定义求函数在某点的导数，培养数学运算的素养.1．函数的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1表示割线P1P2的斜率．思考：Δx，Δy的取值一定是正数吗？[提示]Δx≠0，Δy∈R.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率(1)定义式：limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．3．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.1．下列说法错误的是()A．函数的平均变化率可以大于零B．函数的平均变化率可以小于零-2-C．函数的平均变化率可以等于零D．函数的平均变化率不能等于零D[函数的平均变化率为ΔyΔx，显然其值是可正、可负、可为零的，故选D．]2．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44B[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为()A．0.41B．3C．4D．4.1D[ΔsΔt＝3＋2.12－3＋222.1－2＝4.1.]求函数的平均变化率【例1】(1)若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx＝()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为__________．(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________．(1)C(2)v1v2v3(3)283π[(1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝2(Δx)2＋4Δx∴ΔyΔx＝2Δx＋4，故选C．(2)由题意知，v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC．根据图象知v1v2v3.(3)ΔV＝43π×23－43π×13＝283π.∴ΔVΔr＝283π.]-3-1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用fx0＋Δx－fx0Δx的形式．[跟进训练]1．已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较两个区间上变化的快慢．[解]自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f2－f12－1＝12.自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f5－f35－3＝1415.由于121415，所以函数f(x)＝x＋1x在[3,5]的平均变化比在[1,2]的平均变化快．求瞬时速度【例2】一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．[解](1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2.∴ΔsΔt＝3Δt－Δt2Δt＝3－Δt，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，-4-ΔsΔt＝－Δt－Δt2Δt＝－1－Δt，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v＝ΔsΔt.(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．[跟进训练]2．一质点按规律s(t)＝at2＋2t＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝1s时的瞬时速度为4m/s，求常数a的值．[解]∵Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝[a(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋1]－(a＋3)＝a·(Δt)2＋(2a＋2)·Δt，∴ΔsΔt＝a·Δt＋2a＋2.在t＝1s时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝2a＋2，即2a＋2＝4，∴a＝1.求函数在某点处的导数[探究问题]1．等式limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0fx0－fx0＋Δx－Δx成立吗？提示：成立．2．若limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝3，则limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx等于多少？提示：limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝3.-5-【例3】(1)函数y＝x在x＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值ΔyΔt；②求t1＝4时的导数．[思路点拨](1)求Δy→求ΔyΔx→求limΔx→0ΔyΔx(2)①Δy＝f4.01－f4→ΔyΔt②求Δy→求ΔyΔt→求limΔx→0ΔyΔt(1)12[Δy＝1＋Δx－1，ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，limΔx→011＋Δx＋1＝12，所以y′|x＝1＝12.](2)[解]①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3t21·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3，故当t1＝4，Δt＝0.01时，Δy＝0.481201，ΔyΔt＝48.1201.②limΔt→0ΔyΔt＝limΔt→0[3t21＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t21＝48，故函数y＝t3＋3在t1＝4处的导数是48，即y′|t1＝4＝48.求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．提醒：当对ΔyΔx取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式．-6-[跟进训练]3．(1)函数f(x)＝12＋3x在x＝1处的导数为________．(2)已知函数f(x)在x＝x0处的导数为4，则limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx＝________.(1)－325(2)8[(1)因为ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝12＋31＋Δx－12＋3×1Δx＝－3Δx55＋3ΔxΔx＝－355＋3Δx，所以f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－355＋3Δx＝－325.(2)limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx＝limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx×2＝2limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx＝2f′(x0)＝2×4＝8.]1．理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率fx2－fx1x2－x1表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为fx0＋Δx－fx0Δx的形式．(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．2．利用导数定义求导数时要特别注意：(1)取极限前，要注意化简ΔyΔx，保证使Δx→0时分母不为0.(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．1．判断正误(1)平均变化率等于0时，说明函数没有发生变化．()-7-(2)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率．()(3)函数f(x)在x0处的导数与Δx无关，只与x0有关．()[答案](1)×(2)√(3)√2．函数f(x)在x0处可导，则limh→0fx0＋h－fx0h()A．与x0，h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0，h均无关[答案]B3．一质点按规律s(t)＝2t2运动，则在t＝2时的瞬时速度为__________．8[s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s2＋Δt－s2Δt＝limΔt→02Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.]4．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[解]Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝2Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.