20202021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程231双曲线及其标准方程教学用书教案新人教A版选修2

-1-2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程学习目标核心素养1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)1．通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养．1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a|F1F2|，则点M的轨迹是什么？[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线D[由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP．]-2-2．双曲线y23－x2＝1的焦点坐标是()A．(±2，0)B．(0，±2)C．(0，±2)D．(±2,0)C[根据题意，双曲线的方程为y23－x2＝1，其焦点在y轴上，且c＝3＋1＝2；则其焦点坐标为(0，±2)．]3．椭圆x29＋y2k2＝1与双曲线x2k－y23＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是()A．k3B．2k3C．k＝2D．0k2C[双曲线x2k－y23＝1的焦点坐标为(±3＋k，0)，椭圆的焦点坐标为(±9－k2，0)，由椭圆x29＋y2k2＝1与双曲线x2k－y23＝1有相同的焦点，可得3＋k＝9－k2，因为k0，所以解得k＝2．]4．与双曲线x28－y210＝1具有相同焦点的双曲线方程是________(只写出一个即可)．x26－y212＝1[与x28－y210＝1具有相同焦点的双曲线方程为x28＋k－y210－k＝1(－8＜k＜10)．]双曲线的定义及应用【例1】已知F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．思路探究：(1)直接利用定义求解．(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|．[解](1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知||MF2|－16|＝6，即|MF2|－16＝±6．解得|MF2|＝10或|MF2|＝22．(2)由x29－y216＝1，得a＝3，b＝4，c＝5．由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝64，-3-∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×64×32＝163．PF1F2面积的方法1①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S△PF1F2＝12×|PF1||PF2|·sin∠F1PF2求得面积.2利用公式S△PF1F2＝12×|F1F2|×|yP|求得面积.[跟进训练]1．(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是()A．|PF1|－|PF2|＝±3B．|PF1|－|PF2|＝±4C．|PF1|－|PF2|＝±5D．|PF1|2－|PF2|2＝±4A[|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A．](2)已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．9[由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝4－12＋42＝25＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9．]求双曲线的标准方程【例2】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点A1，－4103；(2)与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P3，154，Q－163，5且焦点在坐标轴上．-4-思路探究：(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解．(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．[解](1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为x216－y2b2＝1(b0)，把点A的坐标代入，得b2＝－1615×16090，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为y216－x2b2＝1(b0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．故所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1．(2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．①∵双曲线经过点(32，2)，∴18a2－4b2＝1．②由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为x212－y28＝1．法二：设所求双曲线的方程为x216－λ－y24＋λ＝1(－4λ16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为x212－y28＝1．(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB0．∵点P，Q在双曲线上，∴9A＋22516B＝1，2569A＋25B＝1，解得A＝－116，B＝19.∴双曲线的标准方程为y29－x216＝1．1．求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB0)来求解．-5-[跟进训练]2．求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．[解]由题意，知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，将点A(4，－5)代入双曲线方程，得25a2－16b2＝1．又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，所以双曲线的标准方程为y25－x24＝1．与双曲线有关的轨迹问题[探究问题]1．到两定点F1，F2的距离之差是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？[提示]一支．2．求以两定点F1，F2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？[提示]以直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线分别为x轴和y轴建系．【例3】如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三个内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．思路探究：[解]以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理，得sinA＝|BC|2R，sinB＝|AC|2R，sinC＝|AB|2R(R为△ABC的外接圆半径)．-6-∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝|AB|2＝22|AB|．由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为x2a2－y2b2＝1(xa)，∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6．即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x2)．求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法1列出等量关系，化简得到方程.2寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.[跟进训练]3．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1．圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4．设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝310＝|F1F2|．∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝32，c＝5，于是b2＝c2－a2＝914．∴动圆圆心M的轨迹方程为x294－y2914＝1x≤－32．-7-1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2．3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解．1．已知双曲线的一个焦点F1(0,5)，且过点(0,4)，则该双曲线的标准方程为()A．x29－y216＝1B．y216－x29＝1C．x29－y225＝1D．y225－x29＝1B[由已知得，c＝5，a＝4，所以b＝3．所以双曲线的标准方程为y216－x29＝1．]2．若k∈R，方程x2k＋3＋y2k＋2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是()A．－3k－2B．k－3C．k－3或k－2D．k－2A[由题意可知k＋30，k＋20，解得－3k－2，选择A．]3．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________．16[由点F(0,5)可知该双曲线y2m－x29＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16．]4．已知双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．[解]因为椭圆x227＋y236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A点的坐标为(15，4)或(－15，4)，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，-8-所以a2＋b2＝9，16a2－15b2＝1，解得a2＝4，b2＝5，所以所求的双曲线的标准方程为y24－x25＝1．