2020新版北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明11等腰三角形第2课时课件

1等腰三角形第2课时【知识再现】1.三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边作_________,顶点和垂足间的_________叫做三角形的高.2.三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的_________叫做三角形的中线.垂线线段线段3.三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连接这个角的顶点与交点的_________叫做三角形的角平分线.4.等边三角形的定义:___________都相等的三角形叫做等边三角形.线段三条边【新知预习】阅读教材P5的内容,回答下列问题:探究:等腰三角形两底角的平分线有何关系?你能画一个等腰三角形并作出它的两底角的平分线吗?通过观察、测量,可猜想:等腰三角形两底角的平分线_________.你能尝试证明你猜想的结论吗?已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.求证:BD=CE.相等证明:∵AB=AC,∴__________=__________.∵BD,CE为∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠3=∠1=__________,∠2=∠4=__________.∴∠3=∠4.∠ABC∠ACB1212∠ABC∠ACB在△ABD和△ACE中,∠3=∠4,AB=AC,____________.∴△ABD≌△ACE(________).∴BD=CE(____________________________).∠A=∠AASA全等三角形的对应边相等归纳:等腰三角形重要线段的结论:等腰三角形两个底角的平分线_________;等腰三角形腰上的高_________;等腰三角形腰上的中线_________.相等相等相等等边三角形的性质:1.等边三角形三边_________.2.等边三角形的三个内角都_________并且每个角都等于_________.相等相等60°【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°,则顶角的度数为()A.50°B.80°C.100°D.130°B2.如图,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,则AE=______.33.如图,在△ABC中,AB=AC,中线BD,CE相交于点O.求证:OB=OC.证明:∵BD,CE是△ABC的两条中线,∴CD=AC,BE=AB,∵AB=AC,∴CD=BE,∠EBC=∠DCB.在△EBC和△DCB中,BE=CD,∠EBC=∠DCB,1212BC=CB,∴△EBC≌△DCB(SAS),∴∠ECB=∠DBC,∴OB=OC.知识点一等腰三角形中相关线段的性质(教材P5例1拓展)【典例1】如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,求证:DE∥BC.【规范解答】∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.…………等腰三角形两底角相等又∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,∴∠AEB=∠ADC=90°,…………垂直的定义∴∠ABE=∠ACD,…………同角的余角相等∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD,…………等式性质∴∠EBC=∠DCB.在△BEC与△CDB中,BECCDBEBCDCBBCCB，，，∴△BEC≌△CDB,……………………………………有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等∴BD=CE,……………………全等三角形的对应边相等∴AB-BD=AC-CE,即AD=AE,…………等式性质∴∠ADE=∠AED.…………等腰三角形两底角相等又∵∠A是△ADE和△ABC的顶角,∴∠ADE=∠ABC,………………………………………顶角相等的两个等腰三角形底角也相等∴DE∥BC.………同位角相等,两直线平行【题组训练】1.(2019·丹江口模拟)如图,已知AD,BE分别是△ABC的中线和高,且AB=AC,∠EBC=20°,则∠BAD的度数为()A.18°B.20°C.22.5°D.25°B★2.下列说法:世纪金榜导学号(1)等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;(2)等腰三角形的两腰上的中线长相等;(3)等腰三角形的腰一定大于其腰上的高;(4)等腰三角形的一边长为8,一边长为16,那么它的周长是32或40.其中不正确的个数是()A.1B.2C.3D.4C★★3.如图,AB=AC,BD=DC,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足分别是F,E.求证:DE=DF.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵DF⊥AB,DE⊥AC,∴∠BFD=∠CED=90°,∵BD=DC,∴△BDF≌△CDE,∴DE=DF.【我要做学霸】等腰三角形重要线段的结论等腰三角形两底角的平分线_________,两腰上的中线_________,两腰上的高_________.相等相等相等知识点二等边三角形的性质(P7随堂练习T2拓展)【典例2】如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q.(1)求证:△ABE≌△CAD.(2)求∠PBQ的度数.【尝试解答】(1)∵△ABC为等边三角形.∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=_________,…等边三角形的性质在△BAE和△ACD中,∴△BAE≌△ACD.…………全等三角形的判定方法60°AECDBACACBABAC，，，(2)∵△BAE≌△ACD,∴∠ABE=∠CAD,全等三角形的性质∵∠BPQ为__________的外角,∴∠BPQ=__________+__________,………外角的性质∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.…………等量代换△ABP∠ABE∠BAD∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=_________.………直角三角形两锐角互余30°【学霸提醒】等边三角形的每一个内角都等于60°;等腰三角形的两个底角相等;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数,与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的.【题组训练】1.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,AB,ED相交于点F,下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有___________.(填序号)①②③★2.如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE.若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数.解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵∠ABE=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°.∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20°,∴∠CED=∠ACB-∠D=40°.★3.如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为边作等边△CDE,使点E,A在直线DC的同侧,连接AE,判断AE与BC的位置关系,并说明理由.世纪金榜导学号解:AE∥BC,理由如下:∵△ABC和△DEC是等边三角形,∴BC=AC,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°,∠B=60°,∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA,即∠BCD=∠ACE,在△ACE和△BCD中,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴∠EAC=∠B=60°,∵∠ACB=60°,∴∠EAC=∠ACB,∴AE∥BC.ACBCACEBCDCECD，，，【火眼金睛】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,试求顶角的度数.正解:当高在内部时,顶角为90°-30°=60°;当高在外部时,得到顶角的外角为90°-30°=60°,则顶角为120°.则该等腰三角形顶角的度数是60°或120°.【一题多变】如图1,在等腰△ABC中.AB=AC=a,面积是S,点P在BC上移动,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,那么点P到两腰的距离和PD+PE等于什么?证明你的结论.解:PD+PE=,证明如下:连接AP,∵S△ABC=S△ABP+S△CAP,∴S△ABC=,∵AB=AC=a,S△ABC=S,∴S=,∴PD+PE=.2SaABDPACPE22aPDPE2（）2Sa【母题变式】【变式一】(变换条件)如图2,在等边△ABC中,边长是a,面积是S,点P是△ABC内部一点,P到三边的距离之和PD+PE+PF又等于什么?证明你的结论.解:PD+PE+PF=.证明如下:连接AP,BP,CP,∵S△ABC=S△ABP+S△CAP+S△CBP,∴S△ABC=2SaABPEACPD22BCPF2，∵AB=AC=BC=a,S△ABC=S,∴S=,∴PD+PE+PF=.aPEPDPF2（）2Sa【变式二】(变换条件和问法)如图3,点P是等边△ABC内部一点,作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F,若PD=1,PE=2,PF=4.求△ABC的边长.略