空间角及其计算

第52讲空间角及其计算1．理解两异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角的平面角的概念．3．会解决一些关于异面直线所成角、线面角及二面角的简单问题．1．两条异面直线所成的角过空间一点分别引两条异面直线的直线，那么这两条相交直线所成的叫作这两条异面直线所成的角，若记这个角为θ，则θ∈.当两条异面直线所成的角为时，这两条异面直线互相垂直．任意平行锐角或直角(0°，90°]90°2．直线与平面所成的角(1)射影自一点P向平面α引垂线，垂足P′叫作点P在平面α内的(简称)．PP′的长度称为点P到平面α的.图形F上所有点在平面α上的射影构成的图形F′，叫作图形F在平面α上的.(2)平面的斜线如果一条直线m与平面α但不和这个平面，则直线m叫作平面α的斜线，交点称为.正射影距离射影射影相交垂直斜足(3)直线与平面所成的角平面α的一条斜线PA和它在平面α上的所成的锐角，叫作斜线与平面所成的角；平面的垂线与平面所成的角为；直线在平面内或直线与平面平行，此直线与平面所成的角为.记任一直线与平面所成的角为θ，则θ∈.射影OA90°0°[0°，90°]3．二面角从一条直线l出发的两个半平面(α和β)所组成的图形叫作.记作二面角α­l­β，l叫作二面角的，两个半平面(α和β)叫作二面角的.二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在二面角的两个面α，β内作与棱垂直的射线OA，OB，我们把叫作二面角α­l­β的平面角，用它来度量二面角的大小．二面角θ的取值范围为θ∈.平面角是直角的二面角叫作.二面角棱面∠AOB[0°，180°]直二面角1．在三棱锥A­BCD中，E、F、G分别是AB、AC、BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，那么∠FEG为()A．30°B．60°C．120°D．60°或120°解：∠FEG为两异面直线AD与BC所成的角或其补角．答案：D2．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为.解：平移EF到AD1，则∠AD1B1为异面直线EF与B1D1所成的角或其补角，易知△AB1D1为正三角形，所以∠AD1B1＝60°，所以EF与B1D1所成的角为60°.答案：60°3．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是三角形AB边的．(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的．(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的．答案：中点外心垂心4．如图，棱长都为a的正四棱锥中．(1)侧棱与底面所成的角为；(2)侧面与底面所成的锐二面角的平面角的正弦值为.解：(1)此正棱锥的高为22a，故侧棱与底面所成的角为45°.(2)设侧面与底面所成的角为α，则sinα＝22a32a＝63.答案:45°635．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中．(1)B1B与平面A1BC1所成的角的余弦值为；(2)二面角D1­BC­A的大小为.解：(1)三棱锥B1­A1BC1为正三棱锥，设B1B与平面A1BC1所成的角为θ，则cosθ＝23×32×21＝63.(2)二面角D1­BC­A的平面角为∠D1CD，其大小为45°.答案：6345°异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角的平面角考点一·异面直线所成的角【例1】(2016·新课标卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABB1A1＝n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13解：(方法一)根据平面与平面平行的性质,将m,n所成的角转化为平面CB1D1与平面A1B1C1D1的交线及平面CB1D1与平面DCC1D1的交线所成的角.设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.因为平面α∥平面CB1D1,所以m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1,所以B1D1∥m1.所以B1D1∥m.因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1,且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1,同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角.在正方体ABCD­A1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形,故直线B1D1与CD1所成角为60°,其正弦值为32.解：(方法二)正方体ABCD­A1B1C1D1的下方补两个相同的正方体,如图.因为AR∥B1D1,AR⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,所以AR∥平面CB1D1.同理AF∥平面CB1D1,又AR∩AF＝A,AR⊂平面ARF,AF⊂平面ARF,所以平面ARF∥平面B1CD1,由题意可得AR,AF分别为m,n.故m,n所成的角即为B1D1,D1C所成的角,其角度为60°.故m,n所成角的正弦值为32.答案：A点评：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种：利用图形中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识求解．【变式探究】1．(2017·新课标卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.33解：将直三棱柱ABC­A1B1C1补形为直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝2，AB1＝5，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD＝3，所以B1D1＝3.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，所以cosθ＝AB21＋AD21－B1D212×AB1×AD1＝5＋2－32×5×2＝105.答案:C考点二·直线与平面所成的角【例2】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝23，PD＝CD＝2.求直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值．解：如图，在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD，又因为AD⊥PD，CD∩PD＝D，所以AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.所以PE⊥平面ABCD，由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．在△PDC中，PD＝CD＝2，PC＝23，可得∠PCD＝30°.在Rt△PEC中，PE＝PC·sin30°＝3.由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此，BC⊥PC，在Rt△PCB中，PB＝PC2＋BC2＝13，在Rt△PEB中，sin∠PBE＝PEPB＝3913.所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为3913.点评：(1)求线面角的方法：①找角，通过射影，作出直线与平面所成的角；②计算，将所作出的角放入到某一三角形中，通过解三角形得解．(2)作角的关键是确定射影的位置，常利用面面垂直的性质定理及图形的特征．【变式探究】2．棱长都为2的直平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，求对角线A1C与侧面DCC1D1所成的角的正弦值．解：过点A1作直线A1M⊥D1C1，交C1D1的延长线于点M，连接CM，可得A1M⊥平面DD1C1C，则∠A1CM就是直线A1C与面DD1C1C所成的角．由所有棱长均为2及∠A1D1C1＝120°，得A1M＝A1D1sin60°＝3，又A1C＝A1C21＋CC21＝232＋22＝4，所以sin∠A1CM＝A1MA1C＝34.所以对角线A1C与侧面DCC1D1所成的角的正弦值为34.考点三·二面角的平面角【例3】如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．(1)证明：AP⊥BC；(2)已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.求二面角B­AP­C的大小．解：(1)证明：由AB＝AC，D是BC的中点，得AD⊥BC，又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC.因为PO∩AD＝O，所以BC⊥平面PAD.又PA⊂平面PAD，故BC⊥PA.(2)如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M，连接CM.因为BC⊥PA，BM∩BC＝B，得PA⊥平面BMC.所以PA⊥CM.故∠BMC为二面角B­AP­C的平面角.在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝41，得AB＝41，在Rt△POD中，PD2＝PO2＋OD2，在Rt△PDB中，PB2＝PD2＋BD2，所以PB2＝PO2＋OD2＋BD2＝36，得PB＝6.在Rt△PAO中，PA2＝AO2＋OP2＝25，得PA＝5.又cos∠BPA＝PA2＋PB2－AB22PA·PB＝13，从而sin∠BPA＝223，所以BM＝PBsin∠BPA＝42.同理CM＝42.因为BM2＋MC2＝BC2，所以∠BMC＝90°，即二面角B­AP­C的大小为90°.点评：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种：利用图形中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.最终将空间角转化为平面角,利用解三角形的知识求解.【变式探究】3．如图，AD⊥平面BCD，∠BCD＝90°，AD＝BC＝CD＝a，求二面角C­AB­D的大小．解：如图，取BD的中点E，连接CE，则CE⊥BD，因为AD⊥平面BCD，所以AD⊥CE，又AD∩BD＝D，所以CE⊥平面ABD，作EF⊥AB，垂足为F，连接CF，因为CE⊥平面ABD，所以CE⊥AB，又CE∩EF＝E，所以AB⊥平面CEF，所以CF⊥AB，所以∠CFE为二面角C­AB­D的平面角．由题意易得CE＝22a，CF＝63a，所以sin∠CFE＝CECF＝32，所以∠CFE＝60°.即二面角C­AB­D的大小为60°.1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角是刻画线线位置关系、线面位置关系及面面位置关系的重要方式，其重点应了解其定义，掌握作角的基本方法及其求法．2．求空间角的一般步骤：一作(找)，二证，三计算．作(找)出所求角是计算的基础．(1)异面直线所成的角，一般通过作平行线来求，要注意异面直线所成角的取值范围是(0，π2]．(2)直线与平面所成的角：利用定义作出角，关键是寻找到相关平面的垂线与射影，作出角后可在相应的三角形中求出角的大小，要注意其取值范围是[0，π2]．(3)二面角：求二面角的平面角，首先要作出角，然后在相应的三角形中求解，注意二面角的取值范围是[0，π]．作二面角的平面角的方法很多，常见的有：①定义法：即在棱上取点O，在两个半平面内作与棱垂直的射线，两射线所夹的角即是二面角的平面角(如图①)；②三垂线法：若二面角α­l­β的一个半平面α内一点A在另一平面内的射影是B，则过A作AO⊥l于O，连接BO，则∠AOB即是二面角α­l­β的平面角(如图②)．点击进入WORD链接