2020年人教A版高中数学必修第一册5.4-三角函数的性质(解析版)

5.4三角函数性质思维导图运用一五点画图【例1】（1）在[0,2π]内用五点法作出y＝－sinx－1的简图.（2）画出函数y＝1＋cosx，x∈[0,2π]的图象．【答案】见解析【解析】（1）①按五个关键点列表x0π2π3π22πy－1－2－10－1②描点并用光滑曲线连接可得其图像，如图所示.（2）①列表如下：x0π2π3π22πcosx10－1011＋cosx21012②描点：躬行实践③连线：用光滑的曲线依次连接各点，即得所求的图象．【触类旁通】1．用“五点法”作函数y＝－2cosx＋3(0≤x≤2π)的简图．【答案】见解析【解析】由条件列表如下：描点、连线得出函数y＝－2cosx＋3(0≤x≤2π)的图象如图所示．2.画出函数y＝3＋2cosx的简图．【思路总结】五点法画图作形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0,2π]的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x＝0、π2、π、3π2、2π；②描点；③用光滑曲线连成图．【答案】见解析【解析】(1)列表，如下表所示x0π2π3π22πy＝cosx10－101y＝3＋2cosx53135(2)描点，连线，如图所示：3.y＝|sinx|，x∈[0,4π]【解析】首先用“五点法”作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sinx|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．运用二周期【例2-1】求下列函数的周期．(1)y＝2sin2x；(2)y＝cos12x＋π6.【答案】（1）π（2）4π【解析】(1)方法一因为2sin(2x＋2π)＝2sin2x，即2sin2(x＋π)＝2sin2x.由周期函数的定义，可知原函数的周期为π.方法二T＝2π2＝π.(2)方法一因为cos12x＋π6＋2π＝cos12x＋π6，即cos12x＋4π6＝cos12x＋π6.由周期函数的定义，可知原函数的周期为4π.方法二T＝2π12＝4π【例2-2】下列函数中，不是周期函数的是()A.y＝|cosx|B．y＝cos|x|C．y＝|sinx|D．y＝sin|x|【答案】D【解析】画出y＝sin|x|的图象，易知y＝sin|x|不是周期函数【触类旁通】1．（2019·平罗中学高一期中（文））函数2sin26yx的最小正周期是（）A．4B．2C．D．2【答案】C【解析】因为2sin26yx，所以其最小正周期为22T,故选C.2．（2019·云南高二期末）函数()2sin36fxx的最小正周期为__________．【答案】23【解析】由题得函数的最小正周期22|-3|3T.故答案为：23运用三正余弦函数曲线的运用【例3】根据正弦曲线求满足sinx≥－32在[0,2π]上的x的取值范围．【解析】在同一坐标系内作出函数y＝sinx与y＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sinx≥－32的x∈0，43π∪53π，2π，所以满足sinx≥－32在[0,2π]上的x的范围是{x0≤x≤43π或5π3≤x≤2π}.或0，43π∪53π，2π【触类旁通】1．不等式sinx0，x∈[0,2π]的解集为()A．[0，π]B．(0，π)C.π2，3π2D.π2，3π2【答案】B【解析】由y＝sinx在[0,2π]的图象可得．2．直线y＝12与函数y＝sinx，x∈[0,2π]的交点坐标是________．【答案】π6，12，56π，12【解析】令sinx＝12，则x＝2kπ＋π6或x＝2kπ＋56π，又∵x∈[0,2π]，故x＝π6或56π.3．根据y＝cosx的图象解不等式：－32≤cosx≤12，x∈[0,2π]．【答案】见解析【解析】函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为xπ3≤x≤5π6或7π6≤x≤5π3运用四奇偶性【例4】（1）下列函数不是奇函数的是A．y＝sinxB．y＝sin2xC．y＝sinx＋2D．y＝12sinx（2）（2019·陕西高一期末）若函数3cos0,223xfx的图像关于y轴对称,则=（）A．34B．32C．23D．43【答案】（1）C（2）B【解析】当x＝π2时，y＝sinπ2＋2＝3，当x＝－π2时，y＝sin(－π2)＋2＝1，∴函数y＝sinx＋2是非奇非偶函数．（2）∵函数f（x）＝cos（323x）＝sin3x（φ∈[0，2π]）的图象关于y轴对称，∴,32kkZ，由题知φ32，故选：B．【触类旁通】1.判断函数的奇偶性(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；(2)f(x)＝1－cosx＋cosx－1.【答案】（1）偶函数（2）既是奇函数又是偶函数【解析】(1)函数的定义域为R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(2)由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．2．函数f(x)＝sin20112π－2010x是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数【答案】B【解析】f(x)＝sin20112π－2010x＝sinπ2－2010x＋1005π＝－sinπ2－2010x＝－cos2010x，f(x)定义域为R，且f(－x)＝－cos(－2010x)＝－cos2010x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．答案：B3．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sinx|C．y＝sinπ2＋2xD．y＝cos3π2－2x【答案】D【解析】y＝cos|2x|是偶函数；y＝|sinx|是偶函数；y＝sinπ2＋2x＝cos2x是偶函数；y＝cos3π2－2x＝－sin2x是奇函数，且其最小正周期T＝π.4．（2019·榆林市第二中学高一期末）已知(0,)，若函数()cos(2)fxx为奇函数，则______．【答案】2【解析】若函数()cos(2)fxx为奇函数，则(0)0f，即cos0，解得2k，又因为(0,)，所以2运用五单调性【例5】(1)函数f(x)＝sinx＋π6的一个递减区间是()A.－π2，π2B．[－π，0]C.－23π，23πD.π3，4π3(2)求函数y＝2sinπ3－2x的单调递增区间．【答案】见解析【解析】(1)由π3≤x≤43π，可得π2≤x＋π6≤32π.所以π3，4π3是函数的一个减区间．(2)由y＝2sinπ3－2x，得y＝－2sin2x－π3.∴要求函数y＝2sinπ3－2x的单调递增区间，只需求出函数y＝2sin2x－π3的单调递减区间．令π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，解之得5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ，k∈Z.∴函数的单调递增区间为5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z)．【触类旁通】1.函数y＝cos2x－π3的单调递增区间是________．【答案】kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)【解析】因为－π＋2kπ≤2x－π3≤2kπ，k∈Z.所以kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z.2．（2019·内蒙古高一月考）函数2sin2([,0])6yxx的单调递减区间是________．【答案】5,63【解析】正弦函数sinyu的单调递减区间为32,222kkkZ，由3222262kxkkZ，得263kxkkZ，记2,63AkkkZ，则5,0,63AI，故答案为：5,63.运用六对称性【例6】（1）函数y＝sin522x的一个对称中心是()A．,08B．,04C．,03D．3,08（2）（2019·天水市第一中学高一期末（理））函数3cos253yx图象的一个对称中心和一条对称轴可以是（）A．5,012，23xB．5,512，23xC．2,03，512xD．2,53，512x（3）（2019·上海市控江中学高一期末）已知是常数，如果函数5cos2yx的图像关于点4,03中心对称，那么的最小值为（）A．3B．4C．6D．2【答案】（1）B（2）B（3）C【解析】（1）y＝sin522x=cos2x，可令2x=2k，可得x=42k，kZ,可得函数的对称中心（42k，0），结合选项可得，当k=0时，选项B正确，故选B.（2）由题意，函数3cos253yx的性质，令2,3xkkZ，解得,26kxkZ，当1k时，23x，即函数的一条对称轴的方程为23x，令2,32xkkZ，解得5,212kxkZ，当0k时，512x，即函数的一个对称中心为5(,5)12，故选：B．（3）由于函数5cos2yx的图象关于点4,03中心对称，则45cos203，4232kkZ，则136kkZ，因此，当2k时，取得最小值6，故选：C.【触类旁通】1．（2019·西藏高一期末）函数()cos()(0)3fxx的图像关于直线2x对称，则的最小值为（）A．13B．12C．23D．1【答案】C【解析】()cos()(0)3fxx对称轴为：22(0)3233xkkk当0k时，有最小值为23故答案选C2．“4”是“函数()cos(3)fxx的图象关于直线4x对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当4时，()cos34fxx，若4x时3coscos1444f，故：4x是对称轴，排除：B,D函数()cos(3)fxx对称轴若是4x，则33,()44kkkz则，故排除：C，答案选A3．（2019·湖南高一期末）函数𝑓(𝑥)=3cos(4𝑥+5𝜋6)图像的一个对称中心是（）A.(𝜋12,0)B.(𝜋6,0)C.(𝜋3,0)D.(5𝜋6,0)【答案】B【解析】由题得4𝑥+5𝜋6=𝑘𝜋+𝜋2，𝑘∈𝑍,所以𝑥=𝑘𝜋4−𝜋12(𝑘∈𝑍)，所以𝑓(𝑥)=3cos(4𝑥+5𝜋6)图像的对称中心是(𝑘𝜋4−𝜋12,0)(𝑘∈𝑍)．当k=1时，函数的对称中心为(𝜋6,0).故选：B运用七最值（值域）【例7】求下列函数的值域：(1)y＝cosx＋π6，x∈0，π2；(2)y＝2sin2x＋2sinx－12，x∈