浅谈坐标方法在中学数学解题中的应用

浅谈坐标方法在中学数学解题中的应用杨龙珠(合肥市瑶海区合肥少儿艺术学校[e-mail])摘要:本文首先介绍了坐标法的概念和学习坐标法的意义,接着给出用坐标法解题的一般步骤以及在解题中经常会用到的一些公式,然后介绍了数形结合思想与坐标法的关系,最后用一些典型例题列举了坐标法在中学数学解题中的应用.关键词:坐标法；数形结合；向量法引言目前,中学数学教学的首要任务是培养学生的想象能力和逻辑思维能力.本文对坐标方法做了系统阐述,全文有五个章节,前两节介绍了坐标法的基本知识,接着第三章介绍了坐标法与数形结合这一数学思想的关系,第四、五两章例举了中学数学中常见的涉及运用坐标法解答的题目.本文的一大特色就是这些例题都是近几年的各地高考真题或模拟题,比较具有时效性、应用性,对中学生应用坐标法解决问题具有实际意义.一、坐标法的概念及学习坐标法的意义1、坐标法的概念坐标法又名解析法,是一种通过建立适当的坐标系（平面或空间坐标系).把几何问题代数化或用代数方法解决几何问题的数学方法.2、学习坐标法的意义坐标法是解析几何中最基本的方法,在中学数学中的应用很广泛,其重要性是不言而喻的.坐标法是通过建立适当的坐标系,把几何问题转化为代数问题,或把代数问题映射成几何问题,然后通过代数运算获得相应的代数结果,最后再次通过坐标系转化为几何的结论.中学数学中有很多代数问题都可以应用坐标法解决,使有些代数方法难以解决甚至无法解决的问题得到解决,使有些代数解法复杂的题目简单化,直观化.中学数学中能用坐标法解答的问题很多,技巧性比较强,这也要求学生能较好地掌握坐标方法,能灵活的运用坐标法解题.本课题通过对坐标法在中学数学各类题型中的应用研究,对于中学生运用坐标法,提高学生的思维能力,分析能力,解题能力都有很大的意义.二、坐标法解题的一般步骤以及用坐标法解题常涉及到的公式1、坐标法解题的一般步骤（1）根据图形及题意建立适当的坐标系,将图形中的点或线转化为坐标或方程,或问题中的坐标或方程映射到图形中的点或线.（2）通过代数运算,解决代数问题.（3）分析代数结果,得出问题结论.2、用坐标法解题常涉及到的公式（1）平面内任意两点),(),,(222111yxPyxP的距离21PP=221212yyxx,如图1所示,可以过1P点作x轴的垂线AP1,过2P点作y轴的垂线AP2,两垂线相交于点A则),(21yxA,1AP=12yy,2AP=12xx,由勾股定理可知21PP=221212yyxx,两点之间的距离公式是坐标平面内刻画几何图形性质的重要工具,并且为之后学习平面解析几何奠定基础.y111,Pxyyxx222,Pxy12,Axy图1图2（2）过),(),,(222111yxPyxP的直线(该直线不与y轴平行)的斜率为:2121yykxx（3）判定直线CDAB,互相垂直的条件为:1CDABkk（4）判定两直线ba,平行,),(),,(2211yxyxba平行的条件为:OPQO01221yxyx（5）判定两直线ba,垂直,),(),,(2211yxyxba垂直的条件为:02121yyxx三、坐标法与数形结合思想数形结合思想是中学数学解题过程中的一种经常用到的思想方法，而且应用十分广泛，它是依照数和形之间的一种对应，通过数和形之间的相互转化来处理数学题目的一种思想.如何对数与形进行有效的转化,坐标方法是实现这一转化的有效工具,坐标方法可以使一些看起来让我们无从下手的问题就会迎刃而解,产生意想不到的效果.在本文中大部分的例题都会涉及数形结合思想,此节就不对数形结合思想展开论述.四、用坐标法解几何问题1、用坐标法解平面几何问题用坐标法解决平面几何问题的关键是把平面中的点和方程分别用坐标和方程来表示，然后根据相应的公式进行相应的计算。引入向量的概念,并对向量的代数运算做出定义后,一些几何性质就可以用代数运算来表示,例如两直线垂直可以表示为相应向量的数量积为零.向量和坐标是研究解析几何的基本工具,向量法和坐标法是研究解析几何的重要方法.向量的数量积问题在高考中的常见的题型有以下几种,每种类型后面都对应相应的例题对此进行阐述.①平行和垂直问题例4.1(泰安，模拟）已知平面向量),2(),2,1(mba，且a∥b，则ba32(C).A．)4,2(B．)6,3(C．)8,4(D．)10,5(解析：用坐标表示两向量平行可以表示为内积与外积相等.因为a∥b,所以)2(21m,即4m，)4,2(3)2,1(232ba)8,4(.例4.2已知(1,1),(2,2)mn，)()(nmnm，则(B).4.A3.B2.C1.D解析:用坐标表示两向量垂直可以表示为两向量的数量积零.首先要用坐标表示出nm,nm这两个向量.)1,1(),3,32(nmnm，因为)()(nmnm,所以0))((nmnm,即得0332.解得3,故选B.②求模问题及求向量例4.2（浙江，宁波模拟）若平面向量),1(xa,和),32(xxb互相平行，其中Rx.则ba(C).A．2或0B．52C．2或52D．2或0解析：向量的求模公式为22yxn（),(yxn）,由a∥b，得0x或2,则此题有两种情况.当2x,即ba＝)4,2(时,ba＝52164；当0x，即ba＝)0,2(时，ba＝2.综上，知ba＝2或52.③求夹角和数量积例4.3现有一单位向量,且与向量a=21,27,27,21b的夹角相等,则该向量为（B）.A．53,54B．53,54或53,54C．31,322D．31,322或31,322解析：因为该向量的模为1,由求模公式和1sincos22,我们可以设)sin,(cose为所求向量,因为该向量与,ab的夹角都相等,故ebeaebebeaea||||||||7117cossincossin2222sin4cos3经验算可知选项B符合要求,故选B．2、用坐标法解决立体几何问题用综合解法解立体几何问题往往会比较复杂,对学生的空间想象能力的要求比较高,若能将坐标法与向量法相结合,将会降低难度,易得正解.当所给几何图形中具有三条“两两垂直”直线或出现“墙角”的情况时我们就优先选用坐标法.我们可以把立体几何问题大体分成两类：一类是空间线、面的位置关系的证明;另一类是空间角与距离的计算.（1）用坐标法解决空间线、面位置关系的思想方法及应用①两直线平行与垂直的判定判定两直线的位置关系,首先要建立适当的坐标系,根据题意写出两直线的方向向量的坐标,判定两直线的方向向量的平行与垂直,从而判定两直线平行与垂直.例4.4如图3,在四棱锥SABCD中底面ABCD是正方形,SA底面ABCD,SAAB,点M、N分别是SD、SC的中点.证明：ADMN图3图4解析：很显然,图3中的ASABAD,,是互相垂直的.此题是证明两直线垂直,值得注意的是两直线垂直数量积为零在三维空间中依然成立.如图4建立空间直角坐标系Oxyz，,由SAAB故设1ABADAS,则)0,0,0(A，)0,0,1(D，)0,1,0(B,)0,1,1(C,)1,0,0(S,因为点M、N分别是SD、SC的中点所以)21,0,21(M,)21,21,21(N,所以)0,0,1(AD,MN)0,21,0(,因为0MNAD,故ADMN,得证.②直线与平面平行或垂直的判定SMNABCDASBCDMNyxz建立空间直角坐标系,判定直线平面的关系,可以通过判定该直线与平面内直线的关系.直线与平面垂直只需判定直线与平面内一条直线的关系,直线与平面垂直,需判定该直线与平面内两条不相交直线的位置关系.另外此类问题也可等价为该直线的方向向量与平面的法向量的平行（或垂直），即转化为（1）的情况.例4.5如图5,正四棱柱1111ABCDABCD中,124AAAB,点E在1CC上且ECEC31．证明：1AC平面BED.图5图6证明：如图6,以D为坐标原点,分别以1,,DDDCDA所在的直线zyx,,建立空间直角坐标系Dxyz则1(220)(020)(021)(204)BCEA，，，，，，，，，，，(021)(220)DEDB，，，，，,11(224)(204)ACDA，，，，，.因为01DBAC,01DEAC1ACBD,1ACDE．又DBDED,所以1AC平面DBE③平面与平面平行(垂直)的判定建立空间直角坐标系,平面与平面平行（垂直）可以转化为两平面法向量的平行(垂直)来判定,再可以转化为（2）的情况,此外,平面与平面的平行也可用共面向量定理证得.例4.6(2012·湖南模拟)已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为边长为a2的等边三角形,且ABDEAD2,F为CD的中点．1D1A1CCABDE1BA1A1C1DBCD1Bzyx(2)求证：平面BCE平面CDE.图7图8证明：如图8所示以A为坐标原点，以AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为z轴，过点A且垂直于AC的直线为y轴,建立空间直角坐标系xyzA，则)0,0,0(A,),0,0(aB，)0,0,2(aC，)0,3,(aaD,)2,3,(aaaE,∵F为CD的中点,∴)0,23,23(aaF.∵AF＝)0,23,23(aa,CD＝)0,3,(aa,ED＝)2,0,0(a,∴AF·CD＝0,AF·ED＝0,∴AFCD,AFED即EDAFCDAF,.又AFDEDCD,平面CDE.又AF//平面BCE，平面BCE⊥平面CDE.（2）用坐标法计算空间角与距离的思想方法及应用①两异面直线所成的角的求法首先找出空间中互相垂直的三条直线（没有的可以添加辅助线），然后写出这两条异面直线的方向向量,根据公式求出这两个方向向量的夹角，最后就可以确定这两条异面直线所成的角.例4.7（2013，江苏高考22）如图9，在直三棱柱111ABCABC中，ACAB,2ACAB,41AA,点D是BC的中点.（1）求异面直线BA1与DC1所成角的余弦值BECFDBExyzAADFCzyAACC1A1A1B1B1C1C图9图10解析：（1）如图10所示建立空间直角坐标系，则)0,0,0(A,)0,0,2(B,)0,2,0(C,)4,0,0(1A,)0,1,1(D,)4,2,0(1C，∴)4,1,1(1DC,)4,0,2(1BA,∴10103182018,cos111111DCBADCBADCBA∴异面直线BA1与DC1所成角的余弦值为10103.②斜线与平面所成的角的求法斜线与平面所成的角可以通过求斜线的方向向量与平面的法向量的夹角来解答.例4.8（山东,烟台模拟）四边形ABCD为矩形,3AB,23BC,PA平面ABCD,3PA,则PC与平面ABCD所成角是(D)．.A(90).B(60)C．(45)D．(30)图11图12解析:如图11，分别以APADAB,,所在的直线为zyx,,轴建立空间直角坐标系，则)3,0,0(P,)0,23,3(C，PC＝)3,2,3(因为PA平面ABCD,所以)03,0(AP是平面ABCD的一法向量,所以APPCAPPCAPPC,cos21，所以〈PC，AP〉＝120º,所以直线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°,xBBDDxy1所以直线PC与平面ABCD所成角为30°.③二面角大小的求法我们可以通过求两个平面的法向量的夹角来求这两个平面所成的二面角的大小.此外,也可转化为两条异面直线所成的角,或根据两异面直线间的距离公式求解.例4.9（20