5小中组第五讲-计数问题(学生版)

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛长沙地区管委会提供1长沙市华杯赛精英队集训班小中组讲义第五讲计数问题（拓维天问供稿）一、知识要点1.加法原理：做一件事情，如果完成它有k类方法，其中第一类方法有a种，第二类方法有b种，…，第k类方法有m种，则完成这件事情共有a+b+…+m种.2.乘法原理：做一件事情，如果完成它需分k个步骤，第一步有a种方法，第二步有b种方法，…，第k步有m种方法，则完成这件事情共有a×b×…×m种.3.排列数：从n个人中选出k个人排成一列，共有11knnnAkn种.4.组合数：从n个人中选出k个人，共有!11kknnnCkn种.5.容斥原理：如果被计数的事物有A、B两类，那么，这两类的个数总和=A类的个数加上B类的个数减去既是A类又是B类的个数。6.格点与皮克定理：平面上有两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，则两组平行线的交点称为格点.对于顶点都是格点的简单多边形，记这个多边形的面积为S，其内部的格点数为N，其边界上的格点数为L，则121LNS.二、考题选讲例1如图1，在三角形ABC中能数出多少个大小不同的三角形?例2图5中的9个点在方格的格点处，用线段连接任意两个格点，如果所连的线段内部没有格点，这样的线段称为“简单线段”，那么共可以连接出多少条“简单线段”？图1图5第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛长沙地区管委会提供2例3如图所示，甲、乙两个小区被湘江隔开，只有一座桥CD可以通过，那么从A点到B点共有多少种不6同的走法？（只能按箭头所指的方向前进，不允许返回）例4如图8，在一个2×2×2的金属框架上，一只蚂蚁沿着框架从A点爬到B点的最短路径有多少条？例5有一个很大的椭圆形硬纸片，画一条直线，就把它分成了两部分；画上第二条直线后，最多能把这个椭圆分成4部分；再画上一条直线，最多能把这个椭圆分成7个部分……如果画2016条直线，最多能把这个椭圆分成多少小块？图6图8第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛长沙地区管委会提供3例6棱长为4的立方体支架每条棱上每隔单位长度有一个分点，与定点一起共计标出44个点，至少过这些点中的两个点的不同的直线有多少条？例7图10中，不含“*”的长方形有多少个？例8对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法：对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类.若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数，那么，（1）三种分类的类数之和是多少？（2）说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同.例9由nn个边长为1的小正方形拼成的正方形棋盘中，求由若干个小正方形组成的所以有正方形的个数.图10第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛长沙地区管委会提供4例10将12本相同的数分成4堆，要使每堆都至少有一本书，且各不相同，应该怎样分？例11现有数字1，2，3，4，5，6，用它们（不重复）可以组成多少个各位上奇偶相间的六位数.例12一个正六边形被分成了6个相同的小三角形，如果用红、黄两种颜色分别涂满小三角形，那么有多少种不同的涂法.（旋转后图案相同认为是同一种涂法）例13如图11，每相邻三个点“∵”或“∴”构成的等边三角形的面积是1平方厘米，求阴影部分的面积.图11第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛长沙地区管委会提供5例14如图12是方格纸，小方格纸的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选8个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线，并且使这8个点用直线连接后所围成的图形面积尽可能的大（1）在图中画出所围成的图形（2）这个图形的面积是多少平方厘米？例15从1~8这八个自然数中取三个数，其中有连续的自然数的取法有多少种？例16一个四位数，各位数字互不相同，所有数字之和等于6，并且这个数是11的倍数，则满足这种要求的四位数共有多少个？图12第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛长沙地区管委会提供6三、课后训练1.如图14的大长方形中能数出多少个大小不同的长方形和正方形？（22）2.用八块棱长为1的小正方块堆成一立体，其俯视图如图15所示,问共有种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）.3.用数字0,1,2,3,4,5能组成多少个不重复的：（1）六位数；（2）六位偶数；（3）六位奇数；（4）大于201345的六位数.4.如图16中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为1平方厘米，这三个多边形的面积是多少平方厘米？5.在某次聚会上，共有10对夫妇参加，若每位男士除自己配偶外都必须和其他人握手一次，而女士与女士之间则不握手，则这次聚会中，客人共握手多少次？图16图15图14