中值定理在不等式证明中的应用

摘要本文主要写在不等式证明过程中常用到的几种中值定理，其中在拉格朗日中值定理证明不等式的应用中讲了三种方法：直接公式法、变量取值法、辅助函数构造法.在泰勒中值定理证明不等式的应用中，给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点、已知区间的两端点、函数的极值点或最值点、已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好的运用泰勒中值定理证明不等式.并对柯西中值定理和积分中值定理在证明不等式过程中的应用问题作简单介绍.关键词：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；积分中值定理；不等式AbstractThispaperideawroteininequalityproofofusefrequentlyduringseveralofthemeanvaluetheorem,whichintheLagrangemeanvaluetheoremprovinginequalityintheapplicationofthethreemethodstospeak:directformulamethod,variablevaluemethod,themethodtoconstructauxiliaryfunction.intheapplicationofproofinequalitiesoftheTaylormeanvaluetheorem,whichgaveTaylorformulaonthepointinseveralways:thepointoftheinterval,theintervaloftwoknownextreme,thefunctionextremevaluepointorthemostvaluepoint,theintervalofknownatanypoint.Andtheapplicationrangeofofallkindsofsituationandcharacteristicsthatwereexplained,inordertobetteruseTaylorofthemeanvaluetheoremtotestifyinequality.AndCauchymid-valuetheoremandintegralmeanvaluetheoremintheapplicationprocesstoprovetheinequalitywerebrieflydiscussedKeywords:TheLagrangeMeanValueTheorem；Taylor'sFormula；CauchyMeanValueTheorem；Inequality；TheMeanValueTheoremforIntegrals目录摘要………………………………………………………………………………（I）Abstract…………………………………………………………………………（I）1引言……………………………………………………………………………（1）2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用…………………………………（2）2.1拉格朗日中值定理…………………………………………………………（2）2.2利用拉格朗日中值定理证明不等式………………………………………（2）2.2.1直接公式法……………………………………………………………（2）2.2.2变量取值法……………………………………………………………（4）2.2.3辅助函数构造法………………………………………………………（5）3泰勒中值定理在不等式证明中的应用………………………………………（7）3.1泰勒中值定理………………………………………………………………（7）3.2利用泰勒公式证明不等式…………………………………………………（7）3.2.1中点取值法……………………………………………………………（7）3.2.2端点取值法……………………………………………………………（9）3.2.3极值取值法……………………………………………………………（9）3.2.4任意点取值法…………………………………………………………（11）4柯西中值定理在不等式证明中的应用………………………………………（14）4.1柯西中值定理………………………………………………………………（14）4.2利用柯西中值定理证明不等式……………………………………………（14）5积分中值定理在不等式证明中的应用………………………………………（16）5.1积分中值定理………………………………………………………………（16）5.2利用积分证明不等式………………………………………………………（16）结束语……………………………………………………………………………（18）参考文献…………………………………………………………………………（19）致谢………………………………………………………………………………（20）11引言不等式也是数学中的重要内容，也是数学中重要方法和工具.中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及积分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也称微分中值定理)为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广.利用中值定理证明不等式，是比较常见和实用的方法.人们对中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态.此外，在极值问题中有重要的实际应用.微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁.微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现.特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇.不等式的证明不仅形式多种多样，而且证明方式多变，常见的方法有：利用函数的单调性证明，利用微分中值定理证明，利用函数的极值或最值证明等，在众多方法中，利用中值定理证明不等式比较困难，无从下手，探究其原因，一是中值定理的内容本身难理解，二是证明不等式，需要因式而变，对中值定理的基础及灵活性要求较高.我们在日常教学中常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基本的内容之一，我们有必要把这类问题单独拿出来进行研究，找出它们的共性，以方便我们日后的教学研究工作的开展.22拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用2.1拉格朗日中值定理拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813，法国数学家，力学家，文学家）.拉格朗日中值定理设函数xf在闭区间[ba,]上连续，在开区间ba,内可导，则在开区间(ba,)内至少存在一点0x，使得0'xfabbfaf)()((1)或afbfabxf0'.(2)拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，即罗尔定理是拉格朗日定理当bfaf时的特殊情形.拉格朗日定理中，由于bxa0，因而可将0x表示为)(0abax，10.这样（1）式还可表示为bfafabaf'，10.(3)若令hab，则有afhafhhaf'，10.（4）一般称式（1）、（2）、（3）、（4）式为拉格朗日公式.2.2利用拉格朗日中值定理证明不等式2.2.1直接公式法例2.1证明不等式2121-sin-sinxxxx成立.分析首先要构造一个辅助函数xf；a由欲证形式构成“形似”的函数区间.b运用拉格朗日公式来判断.证明设21,,sinxxxxxf.由拉格朗日公式（2）可得2121'sin-sinxxfxx，21,xx.等式两边同取绝对值，则有2121-'sinsinxxfxx.而cos'sinxxf.3又因为1cos0.因此，就得到2121-sin-sinxxxx.证毕.评注此题如果单纯地应用初等数学的方法来证明，会难以得出结论，而应用了拉格朗日公式，再利用三角函数的简单知识，问题就游刃而解了.例2.2证明不等式1212-arctanarctanxxxx，（12xx）成立.分析此题利用反三角函数的有关知识，构造一个辅助函数xxfarctan，再利用拉格朗日中值定理就可以轻轻松松地解出此题.证明设xxfarctan,xf在21,xx上满足拉格朗日定理的全部条件，因此有12arctanarctanxx2011x（12xx），210,xxx.因为11120x，可得12arctanarctanxx12xx.例2.3[3]证明)0,1(,)(11bapbapababapbpppp.证明设函数，pxxf)(，则，ppbabfaf)()(．不难看出)(xf在区间ab,上满足拉格朗日定理条件，于是存在ab,，使)(')()()(fbabfaf.由于1'ppxxf，所以1-)('ppf，上式为1)(ppppbaba.因为px当1p时为单调增函数，ab，所以1-1-1-pppab.两边同时乘以bap，则得4)()()(111bapabapbapbppp，即)()(11bapababapbpppp，证毕.2.2.2变量取值法例2.4证明不等式aababbab-ln成立，其中0ab.分析（1）根据题中式子构造一个相似函数，xxfln和定义区间ba,.（2）利用对数的四则运算法则，将对数式整理成拉格朗日中值定理所满足的形式，从而得出结论.证明设xxfln，bax,.由拉格朗日公式（3），则有abaababab--ln-lnln.（1）由不等式10，可推得babaa-及aababaabbab-)(-.代入（1），即aababbab-ln.证毕.评注解此题关健在于观察要证明的不等式中把对数式abln拆开成abln-ln，再利用拉格朗日的公式来轻松地得出结论.例2.4证明不等式hhhh1ln1，对一切1-h，0h成立.分析此题首先利用对数的有关知识，构造了一个辅助函数xln，再利用拉格朗日中值定理解出此题.证明由拉格朗日公式（4），令1a，xxfln)(.则有hhhh11ln-1ln1ln，10.（1）当0h时，由不等式10，可推得5hh111及hhhhh11.（2）当01-h时，由不等式10，可知0111hh.由于0h，可推（2）式成立，将（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.评注证明此种不等式的关健是构造一个辅助函数，再利用初等数学的有关知识来证明不等式.例2.5证明若0x，则xex1.证明令xexf)(，则)(xf在R上连续、可导，且xexf)('.情形一当0x时，由拉格朗日定理知）（x,0使)0(0xeeex.整理有xeex.因为1e，所以有xex.情形二当0x时，由拉格朗日中值定理知）（0,x，使)0(0xeeex.整理有xeex.因为此时10e，三边同时乘以x，xxe0所以xex成立.综上所述，当0x时，xex成立.从以上例题可以发现：灵活构造“ba,”的取值，不仅可使证明过程简单，有时甚至是解题的关键.2.2.3辅助函数构造法例2.6[4]设函数)(xf在ba,上连续，在ba,内可导，又)(xf不为形如BAx的函数．证明至少存在一点）（ba，使abafbff)()()('.证明做辅导函数)