华东师大版-九年级上册-第23章《相似三角形》期末专题复习资料(无答案)

华东师大版九年级上册第23章《相似三角形》期末专题复习资料(无答案）1/8华东师大版第23章《图形的相似》期末专题复习资料一、必记概念：1.比例线段的定义：已知条线段a、b、c、d，如果dcba或dcba::，那么a、b、c、d成比例线段，简称比例线段.其中a、d叫比例外项，b、c叫比例内项；如果作为比例内项的是两条相同的线段，cbba或cbba::，那么b叫做a、c的比例中项。2.黄金分割点：把线段AB分成两条线段AC和CB（CBAC）且使AC是AB和CB的比例中项，则就把线段AB黄金分割，点C叫做黄金分割点。3.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边成比例，对应角相等，则这两个三角形相似.4.相似多边形的定义：如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，则这两个多边形是相似多边形。二、必记性质：1.比例的基本性质：dcbadcba::（0b，0d），bcaddcba::（0b，0d）.2.合比性质：ddcbbadcba.3.等比性质：kndbmcandbknmdcba0.4.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比及周长的比，都等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。5.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似多边形周长的比等于相似比；（3）两个相似多边形对应对角线的比等于相似比；（4）相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形对应边的比；（5）相似多边形面积的比等于相似比的平方。三、必记定理：1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例。2.相似三角形的判定定理1：两角对应相等，两三角形相似；3.相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；4.相似三角形的判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。5.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线相交）所构成的三角形与原三角形相似。四、考点典型例题：考点1：成比例线段（重点考点）1.已知53aba，那么ba等于（）A、52B、25C、52D、252.已知135ab，求bba，bba，baba的值。华东师大版九年级上册第23章《相似三角形》期末专题复习资料(无答案）2/8图37-2ABCDEF图37-1ABCC1B1C2B2C3B3C4B4CB图37-3APCB图37-4ADEF规律小结：（1）比例的基本性质的实质即等式与比例式可以互化，要判断是否正确，可把比例式交叉相乘得等式，看与原式所得等式是否相同即可；（2）等比性质在应用时需注意各分母之和不等于0这个条件。考点2：平行线分线段成比例定理（重点考点）1.如图137，在ABC中，aBC，1B、2B、3B、4B是AB边上的五等分点，1C、2C、3C、4C是AC边上的五等分点，则___________44332211CBCBCBCB.2.如图237，已知AD是ABC的中线，E为AD上的一点，CE的延长线交AB于F，求证：FBAFEDAE2.规律小结：“平行线”在解决比例问题时起到很重要的作用，若题中有平行线，要充分利用这一条件，若没有平行线这一条件，就可以利用平行关系，找出相应的比例线段。考点3：相似三角形的判定（重点考点）1.如图337，已知在ABC中，P是边AC上的一点，连结BP，以下条件中不能判定ABP∽ACB的是（）A、CABPB、ABCAPBC、ABACAPABD、BPBCABAC2.如图437，B、C是矩形AEFD的边AD的三等分点，ADAE31，求证：BCE∽BED.规律小结：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定定理1：两角对应相等，两三角形相似；判定定理2：两边对应成比例，两三角形相似；判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。判定直角三角形相似除以上方法外，还有下面的判定方法：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个三角形相似；（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.判定一般三角形相似的方法为定理及判定定理，而直角三角形的判定方法（直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似）是很重要的方法，即原课本中的射影定理。考点4：相似三角形性质的运用（重点考点）1.如图537，在ABC中，24AB，18AC，D是AC上的一点，12AD，在AB上取一点E，使A、D、E三点围成的三角形与ABC相似，则AE的长为（）A、16B、14C、16或14D、16或9华东师大版九年级上册第23章《相似三角形》期末专题复习资料(无答案）3/8FCA图37-6EBADECB图37-5ADE图37-8FCB图37-7DCAB2.如图637，在ABC中，10AB，16AC，14BC，一直线分别交AB、AC于点E、F，6AE，且AEF与原三角形相似，求EF的长。规律小结：相似三角形具有这些性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比及周长的比都等于相似比；（3）相似三角形的面积之比等于相似比的平方。利用相似三角形的性质可以解决两相似三角形的很多问题，在求线段长度、角的度数、三角形周长及面积时很有帮助。要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，很多学生认为等于相似比。考点5：相似三角形的判定与性质的综合运用（重难点考点）1.如图737，CD是ABCRt斜边上的高，9AD，6CD，则BD等于（）A、5.4B、5C、3D、42.如图837，在ABC中，BCDE//，ABEF//，ADE与EFC的面积分别为20和45，求四边形BFED的面积。规律小结：运用平行线等分线段成比例定理或三角形相似的判定求解出两个三角形相似，然后再具体运用相似三角形的性质进行一些问题的求解，这种题型是相似三角形考查的重点，也是难点，在平常学习过程中要加强这类题目的学习。考点6：相似多边形的判定与性质（重点考点）1.给出下列说法：（1）所有的正方形都相似；（2）两邻边对应成比例的两个矩形相似；（3）两个菱形必相似；（4）有一个角相等的两个等腰三角形相似。其中正确的有（）A、4个B、3个C、2个D、1个2.在一张比例尺为15000:1的平面图上，一块多边形地的面积为2290cm，则这块地的实际面积为（）A、26525mB、2525..6kmC、2435mD、235.4km规律小结：如果两个边数相同的多边形的对应边成比例，对应角相等，这两个多边形叫做相似多边形；相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似多边形的概念和性质是相似三角形概念和性质的扩展，也是相似三角形有关知识的运用。考点7：线段乘积式的证明（拓展考点）1.如图937，CD是ABCRt斜边的高线，BAC的平分线分别交BC、CD于E、F.求证：ABAFAEAC.华东师大版九年级上册第23章《相似三角形》期末专题复习资料(无答案）4/8C图37-9EFDABC图37-10EDABCF图37-11EDABMCN图37-12BDAPMP图37-13NCQEDABH图37-14GCDEEAB图37-15CEDAB2.如图1037，AD是ABC的中线，E为AD上的一点，且CDCE，BEAC.求证：AEADCD2.规律小结：利用相似三角形的判定与性质求解线段乘积式的结论是近几年中考的热点问题，这种线段乘积式的结论在证明时需先把它化成比例式的形式，然后再寻找两个三角形相似。考点8：相似三角形与其他几何知识的综合运用（学科内综合考点）1.如图1137，平行四边形ABCD中，E为BC上的一点，3:2:ECBE，AE交BD于点F，则FDBF:等于（）A、5:2B、5:3C、3:2D、7:52.如图1237，在正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M，交AB于N，交CB的延长线于P，若1MN，3PN，求DN的长。规律小结：近几年中考中有很多是相似三角形与四边形、圆等知识结合的题目，这种题目的解答以相似三角形的判定为基础，利用相似三角形的性质进行一些问题的解答。考点9：有关三角形内接正方形的计算（拓展考点）1.如图1337，在ABC中，15BC，高20AD，正方形PQMN内接于ABC，P、Q在BC边上，M、N分别在AC、AB上，求正方形的边长。规律小结：三角形内接正方形问题是中考中的重点知识，由这类问题可以派生出许多有价值的问题。如（1）立在哪条边上的正方形面积最大；（2）在内接正方形上方小三角形内又可以有内接正方形，它们的边长具有怎样的关系，这些知识都是以三角形的相似为基础的。考点10：利用相似三角形研究面积问题（拓展考点）1.如图1437，在ABC中，8BC，高34AD，BCGF//，AD与GF相交于H，若3GF，则AGF的面积是多少？2.如图1537，在ABC中，BCDE//，3:2:DBAD，求（1）ADE与梯形BCED的面积比；（2）ADE与ECB的面积比。规律小结：相似三角形的面积比等于相似比的平方，而在进行三角形面积计算时，经常使用两华东师大版九年级上册第23章《相似三角形》期末专题复习资料(无答案）5/8图37-17图37-18ACBO图37-165m10m0.9mhmC图37-19EFDABC图37-20AB类面积比：（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方；（2）同底（或等底）两个三角形的面积之比等于对应高的比，同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边之比.。考点11：相似三角形知识在日常生活中的应用（实际应用考点）1.如图1637，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网m5的位置上，则球拍击球的高度h应为（）A、m7.2B、m8.1C、m9.0D、m62.如图1737，这是圆桌正上方的灯泡（看成一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影的示意图，已知桌面的直径为m2.1，桌面距离地面m3，则地面上阴影部分的面积为（）平方米。A、36.0B、81.0C、2D、24.3规律小结：相似三角形的知识用途广泛，如用相似知识测量，探求不同的解决问题的方法，能激发学生的学习兴趣，培养学生的探索与创新能力。考点12：相似三角形在物理中的运用（跨学科渗透考点）如图1837，是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕点C转动，另一端B向上翘起，石头被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起cm10，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为1:5，则要使石头滚动，至少要将杠杆的A端下压（）A、cm100B、cm60C、cm50D、cm10规律小结：相似三角形的性质可以解决线段、角相等的问题，也可以用于其他学科中，如物理中的杠杆问题就用到了相似三角形。五、部分中考试题：Ⅰ.选择题：1.（2017年江苏）已知ABC的三边长分别为cm6，cm5.7，cm9，DEF的一边长为cm4，当DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）A、cm2，cm3B、cm4，cm5C、cm5，cm6D、cm6，cm72.（2016年黄冈）如图1937，在□ABCD中，ABEF//，3:2:EADE，4EF，则CD的长为（）A、316B、8C、10D、16Ⅱ.填空题：华东师大版九年级上册第23章《相似三角形》期末专题复习资料(无答案）6/8图37-215mABCD2.5mCB图37-22AEDC图37-23ODABFC图37-24EDAB1.（2018年湖北）如图2037，已知线段AB，点C在AB上，且有ACBCABAC，则ABAC的数