复变函数和实变函数的比较

复变函数和实变函数的比较数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，复变函数着重讨论解析函数，而解析函数的实部和虚部是相互联系的，这与实变函数有根本的区别。从某种意义上来说，实函数可以看作复函数的特例。有关实函数的一些概念，很多都可以推广到复函数上来。例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展开式、基本初等函数等。但是，由于复数域的特殊性，又给这些概念赋予了新的特性。下面我将选取几个方面粗略地比较实变函数和复变函数的异同。一、复变函数和实变函数的定义复变函数的定义从文字叙述上看与实变函数的定义几乎是一样的。复变函数的定义为：设𝐴是一个复数集,如果对𝐴中的任一复数𝑧，通过一个确定的规则𝑓有唯一的或若干个复数𝑤与之对应，就说在复数集𝐴上定义了一个复变函数，记为𝑤=𝑓(𝑧)。而实变函数的定义为：设𝐴是一个实数集,如果对𝐴中的任一实数𝑥，通过一个确定的规则𝑓有唯一的实数𝑦与之对应，就说在实数集𝐴上定义了一个实变函数，记为𝑦=𝑓(𝑥)。二者定义虽然从文字上看类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数可以看成是把一维实数区间映射成一维实数区间的函数，而复变函数则是把二维平面区域映射成二维平面区域的函数，如下图所示。二、复变函数和实变函数极限过程对比复变函数在某一点的极限定义为：设函数𝑤=𝑓(𝑧)在点𝑧0的某一去心邻域𝑈(𝑧0)内有定义，𝐴为一复常数，若任给𝘀0，总存在𝛿0，使得当0|𝑧−𝑧0|𝛿（即𝑧∈𝑈(𝑧0)）时，都有|𝑓(𝑧)−𝐴|𝘀（即𝑓(𝑧)∈𝑈(𝐴,𝘀)）成立，则称𝐴为函数𝑓(𝑧)当𝑧→𝑧0时的极限，记作lim𝑧→𝑧0𝑓(𝑧)=𝐴，或𝑓(𝑧)→𝐴（𝑧→𝑧0）。而实变函数在某一点的极限定义为：dcbayxoWZuvow1w2z2z1oxy设函数𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥0的某一去心邻域𝑈(𝑥0)内有定义，𝐴为一实常数，若任给𝘀0，总存在𝛿0，使得当0|𝑥−𝑥0|𝛿（即𝑥∈𝑈(𝑥0)）时，都有|𝑓(𝑥)−𝐴|𝘀（即𝑓(𝑥)∈𝑈(𝐴,𝘀)）成立，则称𝐴为函数𝑓(𝑥)当𝑥→𝑥时的极限，记作lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)=𝐴，或𝑓(𝑥)→𝐴（𝑥→𝑥0）。两个定义虽然从文字叙述上看完全类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数的极限过程是当自变量在实数范围内趋近于指定的𝑥0时，其对应的函数值无限趋近于已知确定的某个实数，不管是自变量还是函数值，这个过程都是在一维直线上进行的。而复变函数的极限是当自变量在复数范围内趋近于指定的𝑧0时，其对应的函数值无限趋近于某个已知的确定复数，不管是自变量还是函数值，这个过程都是在二维平面上进行的，如下图所示。三、复变函数的解析性和实变函数的可微性解析函数是复变函数论研究的主要对象，下面先给出几个相关的定义：定义1.1设函数𝑤=𝑓(𝑧)在点𝑧0的领域内（或含𝑧0的区域𝐷内）有定义，若极限𝑙𝑖𝑚∆𝑧→0𝑓(𝑧0+∆𝑧)−𝑓(𝑧0)∆𝑧存在，则称此极限为函数𝑓(𝑧)在点𝑧0的导数，记为𝑓′(𝑧0)定义1.2若函数𝑤=𝑓(𝑧)在点𝑧0可导，则称𝑓′(𝑧0)∆𝑧为函数𝑤=𝑓(𝑧)在点𝑧0的微分，记为𝑑𝑓|𝑧=𝑧0或𝑑𝑤(𝑧)|𝑧=𝑧0,即𝑑𝑤(𝑧)|𝑧=𝑧0=𝑓′(𝑧0)∆𝑧特别地，当𝑓(𝑧)=𝑧时，𝑑𝑧=∆𝑧，于是𝑑𝑤|𝑧=𝑧0=𝑓′(𝑧0)𝑑𝑧即x0Aoxyabcduw0WZyxoz0ov𝑓′(𝑧0)=𝑑𝑤𝑑𝑧|𝑧=𝑧0由此可见，在复变函数中𝑓(𝑧)在点𝑧0可导与𝑓(𝑧)在点𝑧0可微是等价的定义1.3若函数𝑤=𝑓(𝑧)在区域𝐷内可微，则称𝑓(𝑧)为区域𝐷内的解析函数（或全纯函数、正则函数）。此时也称𝑓(𝑧)在区域𝐷内解析。对于微分的性质，实变函数和复变函数有以下三大点的不同:1.微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要内容之一，常用的有Rolle中值定理及Lagrange中值定理，随着数域的扩充，微分中值定理在复数域中不成立。例1.设𝑤=𝑓(𝑧)=𝑒𝑧，函数𝑓(𝑧)在𝑧平面处处解析，且𝑒𝑧具有周期性，2𝑘𝜋𝑖,𝑘∈𝑍是其周期。当给定闭区域𝐷,∀𝑧1,𝑧2∈𝐷且𝑧1≠𝑧2，容易满足𝑒𝑧1=𝑒𝑧2，但(𝑒𝑧)′=𝑒𝑧≠0。故Rolle中值定理在复数域𝐶上不成立。2.解析函数零点的孤立性区域𝐷内每个点都可微的复变函数称为区域𝐷内的解析函数。在复变函数论中，解析函数的零点总是孤立的。而实变函数体现出的性质截然相反。例2.设函数𝑓(𝑥)={𝑥2𝑠𝑖𝑛1𝑥,𝑥≠00,𝑥=0，研究𝑓(𝑥)的可微性及其零点的性质。解：（1）由于𝑙𝑖𝑚∆𝑥→0𝑓(0+∆𝑥)−𝑓(0)∆𝑥=𝑙𝑖𝑚∆𝑥→0(∆𝑥)2𝑠𝑖𝑛1∆𝑥∆𝑥=0故𝑓(𝑥)在𝑥=0可微且𝑓′(0)=0。于是𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)上处处可微。（2）令𝑓(𝑥)=0可得其全部零点是0,±1𝜋,±12𝜋,⋯,±1𝑛𝜋,⋯，其中𝑛为自然数。观察这些零点发现，对于𝑓(𝑥)的零点𝑥=0而言，𝑓(𝑥)的零点𝑥=±1𝑛𝜋,𝑛=1,2,3,⋯，以𝑥=0为聚点，也就是说在点𝑥=0的任意领域内总有异于𝑥=0的𝑓(𝑥)的其他零点。即尽管实变函数𝑓(𝑥)不恒为零且处处可微，零点𝑥=0却不是孤立零点。3.解析函数的无穷可微性在复变函数中，若𝑓(𝑥)在区域𝐷内解析，则𝑓(𝑧)在区域𝐷内具有各阶导数，并且它们也在区域𝐷内解析。复变函数的这一性质称为解析函数的无穷可微性。实变函数中区间上的可微函数，在此区间上不一定有二阶导数，更不必说高阶导数。例3.设函数𝑓(𝑥)={𝑥2𝑠𝑖𝑛1𝑥,𝑥≠00,𝑥=0，讨论𝑓(𝑥)在𝑥=0的高阶导数。解：因为𝑙𝑖𝑚∆𝑥→0𝑓(0+∆𝑥)−𝑓(0)∆𝑥=𝑙𝑖𝑚∆𝑥→0(∆𝑥)2𝑠𝑖𝑛1∆𝑥∆𝑥=0故𝑓(𝑥)在𝑥=0可微且𝑓′(0)=0。于是𝑓′(𝑥)={2𝑥2𝑠𝑖𝑛1𝑥−𝑐𝑜𝑠1𝑥,𝑥≠00,𝑥=0又𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑓′(𝑥)=𝑙𝑖𝑚𝑥→0(2𝑥2𝑠𝑖𝑛1𝑥−𝑐𝑜𝑠1𝑥)不存在，则𝑓′(𝑥)在𝑥=0不连续，于是𝑓′(𝑥)在𝑥=0不可导，即𝑓(𝑥)在𝑥=0没有二阶导数，也就更没有高阶导数。四、复变函数和实变函数的积分从积分的定义来看，实函数和复函数的积分都是分割、求和、取极限等步骤，相同之处是：两种函数的运算性质及积分公式。不同之处是：实函数的积分有明确的、易理解的几何意义，而复函数的积分实质上是一种线积分，积分路径𝐶是区域𝐷内以𝐴为起点𝐵为终点的一条有向光滑的曲线，没有通俗明了的几何意义。而且积分的值不仅和起点和终点有关，一般情况下也与积分路径有关。对于牛顿—莱布尼茨公式，在形式上对两者来说都是一致的，但又有明显的区别：对一元实函数𝑓(𝑥)而言，只要𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上连续，就可应用牛顿—莱布尼茨公式，即∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)𝑏𝑎而对复变函数来说，𝑓(𝑧)连续，积分∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧𝑐存在，但不一定就可以使用牛顿—莱布尼茨公式来计算。要想使用该公式，𝑓(𝑧)必须在单连通区域𝐷内处处解析，才有∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧=𝐹(𝑧1)−𝐹(𝑧0)𝑧1𝑧0同时，式中的上下积分限𝑧1,𝑧0必须都在单连通区域𝐷内。例4.计算积分𝐼=∫(𝑒2+2𝑧)𝑑𝑧𝐶，其中𝐶为(𝑥−1)2+𝑦2=1的上半圆周，取逆时针方向。解：因为𝑒2和2𝑧在复平面上处处解析，则𝐼=∫(𝑒2+2𝑧)𝑑𝑧𝐶=(𝑒2+𝑧2)|20=−𝑒2−3五、复变函数和实变函数的级数复变函数和实变函数的关于级数的不同之处主要体现在将函数展开成幂级数时，具体表现为：复变函数展成幂级数时要求要弱些，仅求𝑓(𝑧)在𝑧0的领域内解析即可，并且不需证明余项趋于零；而实变函数𝑓(𝑥)要展成幂级数，除要求𝑓(𝑥)在𝑧0存在任意阶导数外，还需证明余项趋于零。因此，复变函数展开为泰勒级数的应用要比实变函数来得广。例5.计算∮(∑𝑧𝑛∞𝑛=−1)𝑑𝑧𝐶，其中𝐶为|𝑧|=12。解：在|𝑧|12内，∑𝑧𝑛∞𝑛=−1收敛，和函数𝑆(𝑧)=∑𝑧𝑛∞𝑛=−1=1𝑧+∑𝑧𝑛=1𝑧+11−𝑧∞𝑛=0,所以𝐼=∮(1𝑧+11−𝑧)𝑑𝑧=𝐶∮1𝑧𝑑𝑧+∮11−𝑧𝑑𝑧𝐶=2𝜋𝑖+0=𝐶2𝜋𝑖