非周期信号的频谱分析

1非周期信号的频域分析连续非周期信号的频谱常见连续时间信号的频谱连续时间Fourier变换的性质离散周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析2连续非周期信号的频谱从傅里叶级数到傅里叶变换周期和非周期信号频谱函数的区别傅里叶反变换非周期矩形脉冲信号的频谱分析3一、从傅里叶级数到傅里叶变换讨论周期T增加对离散谱的影响：周期为T宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为)2(Sa0ttnTACnnTnTTCfClimlim0)j(F4一、从傅里叶级数到傅里叶变换ttfTCTTnTnde)(122tj0ttfTttfTCtTTTtnTTnTde)(1limde)(1limlimj22j0ttfTCFtnTde)(lim)j(j物理意义:F(j)是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。傅里叶变换：5二、周期和非周期信号频谱函数的区别（1）周期信号的频谱为离散频谱，非周期信号的频谱为连续频谱。（2）周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为TCn的分布，两者关系：nTTCFlim)j(0)j(nnTFC6三、傅里叶反变换)(lim)(tftfTT0jt=-limennTnC0jt0=-(j)lime2πnTnFd)j(π21)(jteFtf物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为，复振幅为[F(j)/2p]d的虚指数信号ejt的线性组合。T,记n0=,0=2p/T=d,7de)j(π21)(jtωFtfttfFde)()j(tj傅立叶正变换：傅立叶反变换：符号表示：)]j([)()]([)j(1FFtftfFF)j()(FtfF或8狄里赫莱条件狄里赫莱条件是充分不必要条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最小值。（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，且这些点必须是有限值。ttfd)(9例试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数。2t2ttA)(tf解：非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为2/||02/||)(ttttAtf，，由傅里叶正变换定义式，可得tAttfFttdede)()j(22jjtt)2(SattAtπ2tπ2At)j(F10分析：2.周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔取样求得3.信号在时域有限，则在频域将无限延续。4.信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。5.脉冲宽度t越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。1.非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。11常见连续时间信号的频谱常见非周期信号的频谱(频谱密度)单边指数信号双边指数信号ea|t|单位冲激信号d(t)直流信号符号函数信号单位阶跃信号u(t)常见周期信号的频谱密度虚指数信号正弦型信号单位冲激串12一、常见非周期信号的频谱1.单边指数信号，，0)(e)(aatutftttfFtde)()j(j幅度频谱为221)j(aF相位频谱为)arctan()(atttdeej0aaaaj10)j(e)j(t13一、常见非周期信号的频谱1.单边指数信号，，0)(e)(aatutft221)j(aF)arctan()(a单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱t01)(tf0a/1)j(F0)(2/π2/π14一、常见非周期信号的频谱2.双边指数信号ea|t|a0幅度频谱为0011(j)dtjttjtFeeteedtjjaaaa222)j(aaF0)(222aa相位频谱为15一、常见非周期信号的频谱3.单位冲激信号d(t)单位冲激信号及其频谱ttttftFttde)(de)()]([jjdd10t)(td)1(01)j(F取样性16一、常见非周期信号的频谱4.直流信号f(t)=1,t直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的方法求出其傅里叶变换。]e1[lim]1[||0tFF]2[lim220)(π2d000]2[lim220π2)arctan(2d222求面积017一、常见非周期信号的频谱4.直流信号对照冲激、直流时频曲线可看出:0t1)(tf0)π2()j(F时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。直流信号及其频谱18一、常见非周期信号的频谱广义傅里叶变换：可构造一函数序列()fta逼近()ft即,0()lim()ftftaa而()fta满足绝对可积。并且()fta的傅里叶变换所形成的序列()Fja是极限收敛的，则可定义()ft的傅里叶变换()Fj为,0()lim()FjFjaa19一、常见非周期信号的频谱5.符号函数信号符号函数定义为10sgn()10ttt22002[sgn()]lim[sgn()e]limtjFtFtatttFtttttdeedee)1(]e)[sgn(j0j00)j(0)j(jjttttee22112jjjaj220一、常见非周期信号的频谱5.符号函数信号10sgn()10ttt)j(F02/π2/π)(0符号函数的幅度频谱和相位频谱21一、常见非周期信号的频谱6.单位阶跃信号u(t)阶跃信号及其频谱0t)(tu1)j(F0)π(2/π2/π)(0()ut)sgn(2121tdj1)(π)]([tuF22二、常见周期信号的频谱密度)(F)(C)(jtftfn傅里叶变换非周期信号：傅里叶级数周期信号：离散谱连续谱周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？叶变换统一的分析方法：傅里非周期周期)(tf23二、常见周期信号的频谱密度1.虚指数信号)(e0jtt)(π2de1jdtt由)(π2de]e[0)j(j00dtFtt得)(π2de]e[0)j(j00dtFtt同理:)π2(00)j(F虚指数信号频谱密度也可由已知12pd再由频移特性得到24二、常见周期信号的频谱密度2.正弦型信号)]()([π)ee(21cos00jj000ddFttttt0cos100)π()π(0)j(F余弦信号及其频谱函数25二、常见周期信号的频谱密度2.正弦型信号)]()([jπ)ee(j21sin00jj000ddFttttt0sin100)π()π(0)j(F0)(2/π2/π00正弦信号及其频谱函数26二、常见周期信号的频谱密度3.一般周期信号两边同取傅里叶变换tnnnTCtf0je)(0j[()](j)[e]ntTnnFftFFC)(π2)]([0dnCtfFnnT)π2(0T]e[0jtnnnFC27二、常见周期信号的频谱密度4.单位冲激串001[()]2π()2π()TnnnFtCnnTddd)(00dnnnTnTtt)()(dd0002222221111()()()TTTjntjntjntnTTTTCftedttedttedtTTTTdd28二、常见周期信号的频谱密度4.单位冲激串)(1π2)]([0ddnTtFnT)(00dnnnTnTtt)()(dd000)]([tFTd)(00TT)(tTd)1(t单位冲激串及其频谱函数29解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即例周期信号如图，求其傅里叶变换)(*)()(0tfttfTd)()()(000djFnjFnnnnSa)()(2000d02Tp()()22nnnSapppd01144t)(tf/2ptSattt30傅里叶系数与傅里叶变换的关系：00|11022220000nnTTtjnTnTTtjjFTCdtetfTCdtetfjFjFtf比较以上两式得设)()(0tftfT一个周期内31非周期信号的频域分析连续非周期信号的频谱常见连续的频域分析连续时间Fourier变换的性质离散周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析132傅立叶变换的基本性质1.线性特性2.共轭对称特性3.对称互易特性4.展缩特性5.时移特性6.频移特性7.时域卷积特性8.频域卷积特性9.时域微分特性10.积分特性11.频域微分特性12.能量定理2331.线性特性，；若)j()()j()(2211FtfFtfFF)j()j()()(2121bFaFtbftafF则其中a和b均为常数。3p157例342.共轭对称特性)j()(FtfF若)j(*)(*FtfF则当f(t)为实函数时，有|F(j)|=|F(j)|，)j(*)(*FtfF)(je)j()j(FF)j(j)j(IRFF)j()j(),j()j(IIRRFFFFF(j为复数，可以表示为4证明在P157352.共轭对称特性)j()(FtfF若)j(*)(*FtfF则当f(t)为实偶函数时，根据上式有F(j)=F*(j)，F(j)是的实偶函数)j(*)(*FtfF当f(t)为实奇函数时，有F(j)=F*(j)，F(j)是的虚奇函数5因为FR(jw)为偶函数363.时移特性)j()(FtfF若0j0e)j()(tFFttf则式中t0为任意实数证明：tttfttfFtde)()]([j00令x=tt0，则dx=dt，代入上式可得xxfttfFxtde)()]([)(j000je)j(tF信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。637例1试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)。0A2tt2t)(tf0At)(1tftT解：无延时且宽度为t的矩形脉冲信号f(t)如图，)2(Sa)j(ttAFTFFj1e)j()j()()(1TtftfTAttje)2(Sa因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为7384.展缩特性证明:)j()(FtfF若)j(1)(aFaatfF则tatfatfFtde)()]([j)j(1de)(1)]([jaFaxxfaatfFxa