上海市闵行区2018年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2018年上海市闵行区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M=．2．（4分）计算=．3．（4分）方程的根是．4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=．5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是（用数字作答）7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为（用数字作答）8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是（结果用反三角函数表示）9．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且，则b1+b2+…+b1009=．10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是．11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是．12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k的取值范围是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1∥l3C．l1、l3既不平行也不垂直D．l1、l3相交且垂直14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ad＞bcB．ad＜bcC．ac＞bdD．ac＜bd15．（5分）无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要16．（5分）已知函数（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：①当n=0时，m∈（0，2]；②当时，；③当时，m∈[1，2]；④当时，m∈（n，2]；其中结论正确的所有的序号是（）A．①②B．③④C．②③D．②④三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC与底面所成的角的大小．19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”．（1）判断函数f（x）=x2﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{an}，使得当x∈[an，an+1）（n∈N*）时，2x+1∈[an+1，an+2），并求x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域．2018年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M={0，1，2}．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出集合P，M，由此能求出P∩M．【解答】解：∵集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}={0，1，2}，M={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，∴P∩M={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（4分）计算=．【考点】6F：极限及其运算．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．【分析】根据组合公式求得=，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：===，故答案为：．【点评】本题考查极限的运算，考查组合公式，考查计算能力，属于中档题．3．（4分）方程的根是10．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】化简方程求出x的值．【解答】解：∵，即1+lgx﹣3+lgx=0，∴lgx=1，∴x=10．故答案为：10．【点评】本题考查了行列式的计算，对数的计算，属于基础题．4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=．【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得sinα、cosα的值，展开两角和的正弦求得．【解答】解：∵是纯虚数，∴，得sin且cos，∴α为第二象限角，则cos．∴=sinαcos+cosαsin=．故答案为：﹣．【点评】本题考查复数的基本概念，考查两角和的正弦，是基础题．5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．【考点】MD：平面的法向量．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；56：三角函数的求值；5A：平面向量及应用．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=0，可得tanθ=．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=x﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是96（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5O：排列组合．【分析】根据题意，用间接法分析：首先计算在10名学生中任取3人的选法数目，再分析其中只有男生和只有女生的选法数目，分析即可得答案．【解答】解：根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C103=120种，其中只有男生的选法有C43=4种，只有女生的选法有C63=20种则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120﹣4﹣20=96种；故答案为：96．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意利用间接法分析，可以避免分类讨论．7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为40（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数【解答】解：设求的项为Tr+1=C5r（2x）r，今r=2，∴T3=22C52x2=40x2．∴x2的系数是40【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是arccos（结果用反三角函数表示）【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BC∥B1C1，得∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线A1B与B1C1所成角．【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，BC∥B1C1，∴∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角，∵A1B===5，A1C===，∴cos∠A1BC===．∴∠A1BC=arccos．∴异面直线A1B与B1C1所成角的大小是arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值求法，考查异面直线所成角的概念等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力和思维能力，考查函数与方程思想，属中档题．9．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且，则b1+b2+…+b1009=2018．【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，可得bn+1﹣bn=lnan+1﹣lnan=ln=常数t．=常数et=q＞0，因此数列{an}为等比数列．由，可得a1a1009=a2a1008==…．再利用对数运算性质即可得出．【解答】解：数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，∴bn+1﹣bn=lnan+1﹣lnan=ln=常数t．∴=常数et=q＞0，因此数列{an}为等比数列．且，∴a1a1009=a2a1008==…．则b1+b2+…+b1009=ln（a1a2…a1009）==lne2018=2018．故答案为：2018．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是．【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】如图建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），，，.，sinθ=，λμ=﹣+=+，【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），，，．∵，∴，sinθ=．∴，∴λμ=﹣+=+，故答案为：【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是y=±x．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c