上海市闸北区2016年高三第一学期期末一模学科质量检测数学理科试题及答案word解析版

2016年上海市闸北区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题共9题，每题6分，共54分）1．（6分）的展开式的常数项是．2．（6分）函数的单调性为；奇偶性为．3．（6分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．4．（6分）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是．5．（6分）如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部A测得水坝对面的山顶P的仰角为40°，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部B测得∠ABP=56°，若坝面与水平面所成的锐角为30°，则山高为米；（结果四舍五入取整）6．（6分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．7．（6分）已知等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是．8．（6分）过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是．9．（6分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）10．（6分）“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（6分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出下列四个命题：①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（）A．4B．3C．2D．112．（6分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大三、解答题（本大题共4题，共18+20+20+20=78分）13．（18分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈[，），将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆与点B，过B作BC⊥y轴于点C．（1）若点A的纵坐标为，求点B的横坐标；（2）求△AOC的面积S的最大值．14．（20分）为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．15．（20分）如图，已知动直线l交圆（x﹣3）2+y2=9于坐标原点O和点A，交直线x=6于点B；（1）若|OB|=3，求点A、点B的坐标；（2）设动点M满足，其轨迹为曲线C，求曲线C的方程F（x，y）=0；（3）请指出曲线C的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；（4）判断曲线C是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由．16．（20分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且点（n，Sn）在函数y=2x+1﹣2的图象上．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足：b1=0，bn+1+bn=an，求数列{bn}的前n项和公式；（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N*不等式bn＜λbn+1恒成立，求实数λ的取值范围．2016年上海市闸北区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共9题，每题6分，共54分）1．（6分）的展开式的常数项是3．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．【解答】解：∵而项式=（x2+2）•（•﹣•+•﹣•+•﹣1），故它的展开式的常数项为﹣2=3，故答案为3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．2．（6分）函数的单调性为单调递增；奇偶性为奇函数．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3Q：函数的周期性．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据复合函数单调性的性质判断函数的定义域，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）=ln（1+x）为增函数，且f（x）≥f（0）=0，当x＜0时，f（x）=ln=﹣ln（1﹣x）为增函数，且f（x）＜0，则函数f（x）在定义域上为增函数，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=ln（1﹣x），f（x）=ln=﹣ln（1﹣x），此时f（﹣x）=﹣f（x），若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=ln=﹣ln（1+x），此时f（﹣x）=﹣f（x），综上f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．故答案为：单调递增，奇函数；【点评】本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义以及复合函数单调性的性质是解决本题的关键．3．（6分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，a=该正三棱锥的体积：故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．4．（6分）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是1．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将表示为+，再利用向量的运算法则，数量积的定义求解．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，=+，∴==1×1×cos60°+×12=1．故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积运算．考查向量的加减运算．5．（6分）如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部A测得水坝对面的山顶P的仰角为40°，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部B测得∠ABP=56°，若坝面与水平面所成的锐角为30°，则山高为176米；（结果四舍五入取整）【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】在△PAB中使用正弦定理求出PA的长，再在直角三角形中利用三角函数定义求出上高．【解答】解：如图，∠PAB=180°﹣30°﹣40°=110°，∴∠APB=180°﹣110°﹣56°=14°．在△ABP中，由正弦定理得：，即，∴AP=≈274.4．∴山高h=APsin40°≈176．故答案为176．【点评】本题考查了解三角形的实际应用，属于中档题．6．（6分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】5O：排列组合．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．7．（6分）已知等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是5．【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意易得d＜0，an=（n﹣）d，令（n﹣）d≤0，可得等差数列{an}的前5项为正，从第6项开始为负，从而可得答案．【解答】解：因为关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，所以d＜0，且81d+18a1=0，解得a1=，故an=a1+（n﹣1）d=（n﹣）d，令（n﹣）d≤0，（注意d＜0），解得n≥，即等差数列{an}的前5项为正，从第6项开始为负，故数列{an}的前5项和S5取最大，故答案为：5【点评】本题考查等差数列的前n项和的最值问题，涉及一元二次不等式的解集，属基础题．8．（6分）过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是[﹣1，1]．【考点】J7：圆的切线方程．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】由，得≥，可得OM≤2，即可求出y0的取值范围．【解答】解：∵，∴≥，∴OM≤2，∴3+y02≤4，∴﹣1≤y0≤1，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（6分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是①②．【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】当0≤x≤arctan2时，f（x）=；当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣；当x=时，f（x）=2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣=4+．即可判断出．【解答】解：当0≤x≤arctan2时，f（x）==；当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣=2﹣；当x=时，f（x）=2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确；②对任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4用换元法，以x代替﹣x，可得：f（x）+f（π﹣x）=4，因此，故②正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、面积的计算方法、正方形的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）10．（6分）“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件B．必要不充