上海市青浦区2019年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2019年上海市青浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则律得零分。1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝（﹣∞，0），则A∩B＝．2．（4分）写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题．3．（4分）不等式2＜（）3（x﹣1）的解集为．4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），则tan（π+θ）的值为．5．（4分）已知直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为．6．（4分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则||＝．7．（5分）已知无穷等比数列{an}的各项和为4，则首项a1的取值范围是．8．（5分）设函数f（x）＝sinωx（0＜ω＜2），将f（x）图象向左平移单位后所得函数图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω＝．9．（5分）2018首届进博会在上海召开，现要从5男4女共9名志愿者中选派3名志愿者服务轨交2号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名为男性，则不同的选派方案共有种．10．（5分）设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0，其前n顶和为Sn，若数列{}也为等差数列，则＝．11．（5分）已函数f（x）+2＝，当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，若在区间（﹣1，1]内，g（x）＝f（x）﹣t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是．12．（5分）已知平面向量、、满足||＝1，||＝||＝2，且＝0，则当0≤λ≤1时，|﹣λ﹣（1﹣λ）|的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则律得零分。13．（5分）“n＝4”是“（x+）n的二项展开式中存在常数项”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）长轴长为8，以抛物线y2＝12x的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．15．（5分）对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线16．（5分）记号[x]表示不超过实数x的最大整数，若f（x）＝[]，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（29）+f（30）的值为（）A．899B．900C．901D．902三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．（14分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为3，A1D＝5．（1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若E为线段A1D的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小．18．（14分）如图，某广场有一块边长为1（hm）的正方形区域ABCD，在点A处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图象的角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上）设∠PAB＝θ，记tanθ＝t．（1）用t表示的PQ长度，并研究△CPQ的周长l是否为定值？（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少hm2？19．（14分）对于在某个区间[a，+∞）上有意义的函数f（x），如果存在一次函数g（x）＝kx+b使得对于任意的x∈[a，+∞），有|f（x）﹣g（x）|≤1恒成立，则函数g（x）是函数f（x）在区间[a，+∞）上的弱渐近函数．（1）若函数g（x）＝3x是函数f（x）＝3x+在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；（2）证明：函数g（x）＝2x是函数f（x）＝2在区间[2，+∞）上的弱渐近函数．20．（16分）（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为4，渐近线方程为y＝±x．求双曲线的标准方程；（2）过（1）中双曲线上一点P的直线分别交两条渐近于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且P是线段AB的中点，求证：x1•x2为常数；（3）我们知道函数y＝的图象是由双曲线x2﹣y2＝2的图象逆时针旋转45°得到的，函数y＝的图象也是双曲线，请尝试写出曲线y＝的性质（不必证明）．21．（18分）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、c、d，使得无穷数列{an}满足an+1＝，则称数列{an}为“Γ数列．已知数列{bn}为“Γ数列”．（1）若数列{bn}中，b1＝1，k＝3、d＝4、c＝0，试求b2019的值；（2）若数列{bn}中，b1＝2，k＝4、d＝2、c＝1，记数列{bn}的前n项和为Sn，若不等式S4n≤λ•3n对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．2019年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则律得零分。1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝（﹣∞，0），则A∩B＝{﹣1}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：A∩B＝{﹣1}．故答案为：{﹣1}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题“若a＜b，则am2＜bm2”．【考点】25：四种命题间的逆否关系．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】直接写出逆命题即可．【解答】解：“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，故答案为：“若a＜b，则am2＜bm2”．【点评】本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题．3．（4分）不等式2＜（）3（x﹣1）的解集为（﹣2，3）．【考点】7J：指、对数不等式的解法．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】两边化为同底的指数不等式，再根据指数函数的单调性可解得．【解答】解：原不等式可化为：2＜23﹣3x，根据指数函数y＝2x的增函数性质得：x2﹣4x﹣3＜3﹣3x，解得：﹣2＜x＜3，故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题考查了指数不等式的解法，属基础题．4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），则tan（π+θ）的值为．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用诱导公式，求得tan（π+θ）的值．【解答】解：∵平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点（），∴tanθ＝＝，∴tan（π+θ）＝tanθ＝，故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．5．（4分）已知直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为12π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体是底面是以AB为半径的圆，高为AC的圆锥，由此能求出其体积．【解答】解：∵直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体是底面是以AB为半径的圆，高为AC的圆锥，∴△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为：V＝＝＝12π．故答案为：12π．【点评】本题考查直角三角形绕直角边旋转一周所成几何体的体积的求法，考查旋转体的性质、圆锥的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．6．（4分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则||＝．【考点】A8：复数的模．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知求得z1，z2，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的公式求解．【解答】解：由表格可知，z1＝i，z2＝2﹣i，则，∴||＝|﹣1﹣2i|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算及复数模的求法，是基础题．7．（5分）已知无穷等比数列{an}的各项和为4，则首项a1的取值范围是（0，4）∪（4，8）．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】由无穷等比数列{an}的各项和为4得，，|q|＜1且q≠0，从而可得a1的范围．【解答】解：由题意可得，，|q|＜1且q≠0a1＝4（1﹣q）∴0＜a1＜8且a1≠4故答案为：（0，4）∪（4，8）【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|＜1且q≠0时前n项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．8．（5分）设函数f（x）＝sinωx（0＜ω＜2），将f（x）图象向左平移单位后所得函数图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合，则ω＝．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】57：三角函数的图象与性质．【分析】先求出变换后所得函数图象对应的函数解析式为y＝sin（ωx﹣ω），再由所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，可得ω＝kπ，k∈z，结合ω的范围，可得ω的值．【解答】解：把函数f（x）＝sinωx的图象向左平移单位后，所得函数图象对应的函数解析式为y＝sinω（x+）＝sin（ωx+ω）．再由所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，可得ω＝kπ，k∈z，结合ω的范围，可得ω＝，故答案为．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．9．（5分）2018首届进博会在上海召开，现要从5男4女共9名志愿者中选派3名志愿者服务轨交2号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名为男性，则不同的选派方案共有80种．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合．【分析】利用间接法，先从9人任选3人，再排除3人全是女的情况，即可求出．【解答】解：利用间接法，先从9人任选3人，再排除3人全是女的情况，故有C95﹣C43＝80，故答案为：80．【点评】本题考查组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题10．（5分）设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0，其前n顶和为Sn，若数列{}也为等差数列，则＝．【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】求出等差数列求和公式，以及通项公式，求出数列的公差，得到数列的和，然后求解数列的极限．【解答】解：设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0，an＝1+（n﹣1）d，Sn＝，其前n顶和为Sn，＝1则，＝，，数列{}也为等差数列，可得，可得d＝2，所以an＝2n﹣1，Sn＝n2，＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的应用，数列的极限的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）已函数f（x）+2＝，当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，若在区间（﹣1，1]内，g（x）＝f（x）﹣t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（0，]．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】由g（x）