上海市静安区2017年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2017年上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）若复数z为纯虚数，且满足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为．4．（5分）二项式展开式中x的系数为．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．7．（5分）根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过小时方可驾车．（精确到小时）8．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，满足f（x7）+f（x8）=0，则x2017的值为．9．（5分）直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则的最大值为．10．（5分）已知f（x）=ax﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能12．（5分）在无穷等比数列{an}中，，则a1的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．13．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）x3﹣24y0﹣4A．B．C．1D．215．（5分）已知y=g（x）与y=h（x）都是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），若y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，则正实数k的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（11分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F分别是棱AD，CD的中点．（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；（2）求四面体CA1EF的体积．17．（14分）设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．18．（14分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？19．（18分）设集合Ma={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈Ma，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．20．（18分）由n（n≥2）个不同的数构成的数列a1，a2，…an中，若1≤i＜j≤n时，aj＜ai（即后面的项aj小于前面项ai），则称ai与aj构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．（1）计算数列的逆序数；（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；（3）已知数列a1，a2，…an的逆序数为a，求an，an﹣1，…a1的逆序数．2017年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞）．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义求出a的范围即可．【解答】解：若“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．2．（5分）函数的最小正周期为π．【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．【解答】解：函数=1﹣3•=1﹣•（1+sin2x）=﹣﹣sin2x的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．3．（5分）若复数z为纯虚数，且满足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】由（2﹣i）z=a+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，由复数z为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由（2﹣i）z=a+i，得==，∵复数z为纯虚数，∴，解得a=．则实数a的值为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．（5分）二项式展开式中x的系数为10．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求得答案．【解答】解：设二项式展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=x2（5﹣r）•x﹣r=•x10﹣3r，令10﹣3r=1得r=3，∴二项式展开式中x的系数为=10．故答案为：10．【点评】本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式的应用，属于中档题．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案．【解答】解：半径为1米的半圆的周长为=π，则制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1，设圆锥的底面半径为r，则2πr=π，即r=．∴圆锥的高为h=．∴V=×=（立方米）．故答案为：．【点评】本题考查柱、锥、台体体积的求法，关键是明确圆锥剪展前后的量的关系，是中档题．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值．【分析】由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过8小时方可驾车．（精确到小时）【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有【专题】12：应用题；35：转化思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】先求出er=，再利用89•exr≤20，即可得出结论．【解答】解：由题意，61=89•e2r，∴er=，∵89•exr≤20，∴x≥8，故答案为8．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，满足f（x7）+f（x8）=0，则x2017的值为4019．【考点】8I：数列与函数的综合．菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；4F：归纳法；54：等差数列与等比数列．【分析】设设x7=x，则x8=x+2，则f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f（x+1）=0=f（0），x7=﹣1．设数列{xn}通项xn=x7+2（n﹣7）．得到通项xn=2n﹣15．由此能求出x2011的值．【解答】解：设x7=x，则x8=x+2，∵f（x7）+f（x8）=0，∴f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，∴f（x+1）=0=f（0），即x+1=0．∴x=﹣1，设数列{xn}通项xn=x7+2（n﹣7）=2n﹣15∴x2017=2×2017﹣15=4019．故答案为：4019【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．9．（5分）直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则的最大值为12．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】建立坐标系，设M（），则=（），，【解答】解：如图建立平面直角坐标系，A（0，0），B（3，0），C（0.4），三角形ABC外接圆（x﹣）2+（y﹣2）2=，设M（），则=（），，，故答案为：12．【点评】本题考查了圆的参数方程、三角函数的单调性、数量积坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10．（5分）已知f（x）=ax﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为4．【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有【专题】4R：转化法；5T：不等式．【分析】根据对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，求出a，b的关系，可求的最小值．【解答】解：f（x）=ax﹣b，g（x）=x+1，那么：f（x）•g（x）≤0，即（ax﹣b）（x+1）≤0．对任意实数x均成立，可得ax﹣b=0，x+1=0，故得ab=1．那么：=4，当且仅当a=，b=2时取等号．故的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了恒成立的问题的转化以及基本不等式的性质的运用，属于基础题．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）若空间三条直线