姓氏的延续与消失问题研究(2)

姓氏延续与消失问题的研究陈鎏霁邢旭赵木涵摘要姓氏是每个人与生俱来的印记，与日常生活息息相关。中华姓氏文化源远流长，涵盖了华夏名族发展史，内涵体系丰富，是中华历史文化中不可多得的宝贵遗产。本文将Galton-Watson分支过程（以下简记为GW过程）应用于姓氏的延续与消亡研究，通过建立概率母函数和配对函数来模拟人繁殖的随机过程，进而通过概率母函数的一些性质来研究若干个姓氏在封闭社会系统内的延续与消失问题。论文主要研究成果：（1）（2）（3）关键词：Galton-Watson分支过程概率母函数配对函数灭绝概率一、问题重述本文考虑一个在初始时刻由若干姓氏组成的封闭社会系统，试建立一个能够模拟若干代后姓氏分布情况的数学模型，从而对研究姓氏在不同条件下的延续与消失问题。（1）在所有后代都随父姓的情况下，建立模型，求出若干代后姓氏的分布情况。（2）在（1）的条件下根据建立的模型推算出一个姓氏的平均存在时间和哪些要素有关，有多少概率会消亡。（3）最后在子随父姓，女随母姓的情况下，再次考虑（1），（2）。二、问题分析在考虑一个初始时刻由若干姓氏组成的封闭社会系统时，我们需要一个可靠的模型来模拟出姓氏延续的随机过程。由于人类的生育过程是一男一女繁殖出随机个数的随机性别的子女，可以将它看作一个人随机繁殖出随机数量（可以为小数）的随机性别的子女，所以本文考虑使用GW分支过程模拟人的繁殖过程。又考虑到人繁殖时需一男一女一一配对，于是加入配对函数配合GW分支过程使模型更符合实际。三、模型假设（1）人口发展符合自然规律，不存在其他因素（战争，疾病等）影响模型。（2）考虑到现实生活中，再婚率较低。本文假设男女遵循忠诚配对，即不存在再婚情况。（3）在整个族群中，人们遵循完全配对原则，即婚配后无法找到配偶的人群里有且只能有一种性别的人。（4）考虑到婚配与姓氏无关，婚配后各姓氏未配对成功人口的比例与婚配前各姓氏该性别人口的比例相同，即每次婚配后各姓氏未配对成功的人数均可由婚配前各姓氏该性别人口算出。（5）每对夫妇生育每个后代的概率均等，即夫妇生育上一个孩子后不会影响是否继续生育的欲望。四、符号说明𝐀𝐢𝐣（i=1,2,3…;j=0,1,2…）--------i姓第j代男子总数；𝐁𝐢𝐣（i=1,2,3…;j=0,1,2…）--------i姓第j代女子总数；𝐏𝐢𝐣（i=1,2,3…;j=0,1,2…）---i姓第j代男性人口占第j代总男性人口的比例；𝐗𝐢𝐣（i=1,2,3…;j=0,1,2…）--------i姓第j代成功配对男子总数；𝐘𝐢𝐣（i=1,2,3…;j=0,1,2…）--------i姓第j代成功配对女子总数；𝐙𝐣（j=0,1,2…）------------------第j代成功配对数；L(，)--------------------------配对函数；𝐪𝐤（k=0,1,2…）------------------每一对夫妇生k个孩子的概率；𝛂--------------------------------夫妇生育一个孩子的概率；𝐂𝒊𝒋（i=1,2,3…;j=0,1,2…）--------j代某姓男性后代中第i个成功婚配男性。𝑛0-------------------------------初始男性个数。五、模型的建立与求解1.相关定义、定理的介绍（1）配对函数[1]定义：配对函数L(x,y)=min(x,dy)表示每个雄性个体可以至多与d个雌性个体组成一个配对单元。对于伴侣不定的物种而言，d并不唯一，但对人来说，d的合理估计量为1。下面给出本模型的配对函数：Zj=L(∑𝐀ijni=1,∑𝐁ijni=1)=min⁡(∑𝐀ijni=1,∑𝐁ijni=1)由假设（4），当女性过多时，男性全部婚配，所以X1j：X2j：……：Xnj=A1j：A2j：……：Anj，当男性过多时，X1j：X2j：……：Xnj=（P1j∑Aijni=1）：（P2j∑Aijni=1）：……：（Pnj∑Aijni=1）=P1j：P2j：……：Pnj=A1j：A2j：……：Anj。所以对于姓氏由男性决定的情况，成功婚配男性在男性中的占比是一个姓氏发展的指标，以下讨论均以经过以上配对函数处理后的数据为基础，建立其模型。（2）GW过程定义[3]：分支过程是一种特殊的随机过程，它是一组粒子的分裂或灭亡过程的数学模型。设时间参数为n＝0,1,2，…，在分支过程理论中起重要作用的是分裂概率pk，它是任何一代的一个粒子分裂为k个的概率(k=0,1,2,…)。其母函数（见概率分布）记为g（s）=∑pksk∞k=0。假设各个粒子的分裂是独立进行的，这种分支过程{Zn}通常称为Galton－Watson过程，它是一个马尔可夫链（见马尔可夫过程）。本模型中GW过程：设i姓人群在开始时刻0有Xi0个成功婚配男子。首先考虑女性不决定后代的姓氏，则这可以看着是一个根据同一概率分布律{qk:k=0,1,2,…}相互独立且随机地繁殖下一代的单性GW过程，这样问题就简化了。第0代成功婚配男性繁殖的下一代中成功婚配的男性构成Z1个第1代个体。然后，这Z1个第一代个体重复上辈的演化过程而繁殖出Z2个第二代个体。依据这样的规律，姓氏一代一代的延续下去。但在这个过程中，不管哪一代的哪一个个体，其繁殖下一代的数目只取决于相同的概率分布律{qk:k=0,1,2,…}，而不受前辈或同辈中其它个体的影响。并且成功婚配的男性成为姓氏传递的关键，所以，若以Xi0表示i姓初态成功婚配男性人数,以Xij+1表示j+1代成功婚配男性人数,那么诸Xij（i=1,2,3…;j=0,1,2…）相互独立,且同服从以{qk:k=0,1,2,…}为分布律的分布,就形成一个GW过程.（3）概率母函数[2]定义：设X是非负整数值的离散型随机变量,其概率分布为pk={X=k，k=0，1，2……}则∅(s)=∑PjSj∞j=0称为随机变量X的概率母函数。（4）灭绝概率[2]：关于灭绝概率q=P(Z0→0)的研究构成了分支过程的主要内容之一，而且,q与概率母函数∅(s)之间也有密切的关系.首先,下式q=P(Z0→0)=P(Zn=0，存在某个n∈N)=P(⋃{Zn=0}∞n=1)=limn→∞P(Zn=0)成立,而P(Zn=0)=p0=∅n(0),因此灭绝概率也可记做q=limn→∞∅n(0)由此,注意到迭代关系式∅n+1(0)=∅[∅n(0)],并对其两边取极限得出q=∅(q).这也就是说,灭绝概率q是方程s=∅(s)的一个解,并且q还是它的最小非负解.（3）GW分支过程的矩[2]离散型随机变量X与其概率母函数∅(s)之间存在着密切的关系,因此,既然知道概率母函数∅(s),我们就可以以矩与母函数的关系,在EZn,⁡DZn(n=1,2,…)有限的前提下,将{Zn}的均值和方差由∅(s)表示出来。若EZ1=∅′(1)=μ,⁡DZ1=∅′′(1)+∅′(1)−[∅′(1)]2=σ2,则:EZ1=μnDZ1={nσ2⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡μ=1σ2μn(μn−1)μ2−μ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡μ≠12．数学模型（1）子代姓氏与父亲相同在此条件下，姓氏的发展取决于该姓氏每代婚配男性人数与生育后代的数量。因此，各个姓氏的发展是相互独立的。所以，以下模型为建立在单一姓氏下的GW过程模型。最初i姓婚配男性人数为Xi0，婚配后，一对夫妻可以生育k个子女（k=0，1,2，…），其对应的概率为qk(qk≥0，∑qk=1∞k=0)，所以生育男性人数服从二项分布即C𝑖𝑗~b(N，𝛼2)。于是：{Xi0=𝑛0Xin+1=∑C𝑖𝑗Xin𝑖=1j≥0构成某个姓氏的GW过程数学模型。（2）子代男性姓氏与父亲相同，女性姓氏与母亲相同3．模型求解六、模型的检验七、模型的分析和评价该模型采用了GW分支过程及概率母函数的性质等相关知识，合理有效的解决了姓氏的延续与消失问题。本模型有以下几个优点：1.2.3.4.当然，由于问题的开放性（），该模型也出现了一些缺陷：1.2.3.八、模型的改进下面对于模型的个缺陷分别进行改进。1.2.3.九、参考文献王勇.两性分支过程[D].太原理工大学,2003.[1]房镜.分支过程及其应用研究[D].重庆师范大学,2007.[2]T.E.Harris,TheTheoryofBranchingProcesses,Springer-Verlag,Berlin,1965.[3]梁进，陈雄达，张华隆，项家梁．数学建模讲义[J]．同济数学系，2014,3(5):30-33十、附录