离散时间信号与系统的频域分析

第六章离散时间信号与系统的频域分析★本章内容6.1z变换的定义6.2z变换的基本性质6.3z反变换6.4z变换与拉普拉斯变换的关系6.5离散时间系统的z变换分析法1.Z变换定义及其收敛域（1）变换域的基本概念①离散时间信号与系统的常用分析方法◆时域分析法：系统与信号不需任何变换而在时域直接分析、运算。◆变换域分析法：通过变换，建立时域与其频谱间的内在联系，利用频谱分析的观点方法对系统与信号进行分析和运算。6.1z变换的定义②变换域分析法：频域分析法：离散时间的傅立叶变换（4种情形）频域分析法：z变换（连续时间：拉氏变换）③变换域分析法的优点可使信号与系统的分析、运算变得简便。例：卷积和计算y(n)=x(n)﹡h(n)Y(z)=X(z)H(z)6.1z变换的定义（续）※利用变换域分析法求解LTI系统输出的思路—复频域z变换LTI系统信号时域解系统函数信号z变换z变换解时域：复频域：z反变换h(n)y(n)=x(n)﹡h(n)Y(z)=X(z)H(z)H(Z)X(Z)x(n)6.1z变换的定义（续）（2）Z变换定义（Z变换通常表达式：X(z)=Z[x(n)]）※通常z变换为一有理分式，它可由分式多项式表示:nnz)n(x)z(X为复变量rez其中：jωQ(z)P(z)X(z)分子多项式的根是x(z)的零点分母多项式的根是x(z)的极点（r:矢径，ω：复角）6.1z变换的定义（续）（3）Z变换收敛域（定义）※求序列的z变换时需同时求出其收敛域。|z)n(x|nnxxR|z|Rjωrez6.1z变换的定义（续）1）序列特性对其收敛域的影响右边序列→z变换收敛域左边序列→z变换收敛域双边序列→z变换收敛域||zRxn1n2nnxRz||0nxxRzR||若n2≤0，则0≤|z|Rx+若n1≥0，则Rx-|z|≤∞若Rx-Rx+,则不收敛6.1z变换的定义（续）2）有限长序列的z变换收敛域有限长序列n1≤n≤n2→z变换收敛域（三种情形）有限长左序列：n10,n2≤0→z变换收敛域：有限长右序列：n1≥0,n20→z变换收敛域：有限长双边序列：n10,n20→z变换收敛域：※因果序列是一种右边序列，其z变换收敛域包括无穷大||0z||0z||0z6.1z变换的定义（续）3）Z变换收敛域情形的图解（1）（2）（3）（4）※收敛域与序列的相互关系：因果序列←→右边序列(且n1≥0）非因果序列←→左边序列4）收敛域的求法：由收敛域定义求出z变换的收敛域6.1z变换的定义（续）[例6-1]①求序列x(n)=anu(n)的z变换。[解]由z变换定义式知：其收敛域为：|z||a|※由右边序列特性及z变换极点也可知收敛域为：|z||a|10nn1nnnaz11)(az]z[aX(z))n(u|az-1|1时6.1z变换的定义（续）②求序列x(n)=-anu(-n-1)的z变换。[解]由z变换定义式知,,有：其收敛域为：|z||a|※由左边序列特性及z变换极点也可知收敛域为：|z||a|11011n111nx--nn-nn-nnnnnaz11za11z)(azazaz)(X(z)|a-1z|1时6.1z变换的定义（续）①x(n)=anu(n)（右边序列）②x(n)=-anu(-n-1)（左边序列）x(n)=anu(n)|z||a|x(n)=-anu(-n-1)|z||a|由上看出，序列不同,其z变换可能相同，但其收敛域不同。1az11)z(X收敛域：z变换：6.1z变换的定义（续）an（n≥0）anu(n)-bn（n≤-1）-bnu(-n-1)[解]由于x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)收敛域：|a||z||b|[例6-2]求双边序列的z变换及收敛域（※|a||b|时，有公共收敛域，否则不收敛。）X(n)=)bz)(az()ba2z(zbz11az11)z(X11z变换：6.1z变换的定义（续）结论X(z)的极点相同时其收敛域可能不同所对应的序列亦不相同相同极点时的几种收敛域情形（3个极点）2.常用z变换◆单位冲激序列δ(n):◆指数序列anu(n):◆单位阶跃序列u(n):6.1z变换的定义（续）6.1z变换的定义（续）设：x(n)的z变换为：x(z)=Z[x(n)]y(n)的z变换为：y(z)=Z[y(n)]1）线性：Z[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z)其收敛域为两者的公共部分若有零极点对消，则收敛域扩大。）（xxRzR||）（yy||RzR6.2z变换的基本性质2）序列移位：Z[x(n±m)]=z±mX(z)若x(n)为双边序列：移位后收敛域不变若x(n)为单边（或有限长双边）序列：可能会在z=0或z=∞不收敛3）乘以指数序列（z域尺度变换）Z[anx(n)]=X(a-1z)（收敛域:|a|Rx-|z||a|Rx+）6.2z变换的基本性质（续）5)反折序列Z[x(-n)]=X(1/z)6)初值定理若x(n)为因果序列[x(n)=0，n0]，则：)0(x)z(Xlimz）（xxR1|z|R16.2z变换的基本性质（续）7)序列卷积和（时域卷积和定理）6.2z变换的基本性质（续）6.2z变换的基本性质（续）※其他性质：终值定理序列的线性加权有限项累加特性复卷积定理帕塞瓦定理…….6.2z变换的基本性质（续）1.z反变换——根据z变换及其收敛域还原其序列(※c为X(z)收敛域内的一条逆时针闭合曲线)6.3z反变换◆根据复变函数理论，X(z)在解析的环状区域内可展成罗朗级数→其罗朗级数系数即为z反变换x(n)（※可由柯西积分定理证明）◆z反变换通式：x(n)=Z-1[X(z)]6.3z反变换（续）2.求解z反变换的三种常用方法留数法（围线积分法）部分分式展开法幂级数展开法（长除法）6.3z反变换（续）*留数法（围线积分法）◆根据留数定理，若X(z)zn-1在围线c内有K个极点zk，则：（即：Z反变换x(n)为围线c内所有极点留数之和）→X(n)6.3z反变换（续）6.3z反变换（续）◆留数求解：z=zrz=zrz=zrz=zr◆留数辅助定理：——若围线内、外分别存在K和M个极点，则存在下述关系：应用围线外留数时的条件：被积函数的分母多项式阶数较分子多项式高2阶以上z=zmz=zk6.3z反变换（续）收敛域：1/4|z|4[解]z反变换x(n)为：[例]用留数法求z反变换x(n))41z)(z4(z)z(X26.3z反变换（续）◆分析被积函数在闭环围线c内外的极点、零点情况。分析：n+1≥0,即n≥-1时，极点：z=1/4,z=4n+10,即n≤-2时，极点：z=1/4,z=4,z=0（n+1阶)零点：z=0（围线外)6.3z反变换（续）①当n≥-1时，求围线内极点z=1/4的留数较为方便。6.3z反变换（续）②当n≤-2时，因围线c内有两极点（含多阶极点z=0），则利用留数辅助定理求围线外单极点z=4的留数较为方便。n≤-2时，分母阶数较分子阶数高2阶以上6.3z反变换（续）◆综合上述两式，得：6.3z反变换（续）1）部分分式展开法①若Z变换X(z)为有理分式，则可展成部分分式之和。即：其中：②由z变换表可查出各分式z反变换，而后求和。(z)X(z)X(z)XA(z)B(z)X(z)N21(z)XZ(z)XZ(z)XZX(z)Zx(n)N1211116.3z反变换（续）◆部分分式展开法求z反变换的步骤：①X(z)除以z→X(z)/z，②求出X(z)/z的极点，并根据极点展成分式③由留数定理求各分式系数④根据z变换表及收敛域求z反变换6.3z反变换（续）[例6-3]用部分分式法求下式的z反变换x(n)[解]6.3z反变换（续）6.3z反变换（续）2）幂级数展开法（长除法）①x(n)的z变换为z-1的幂级数，即：由此在收敛域内可将X(z)展成幂级数，其系数为x(n)。②幂级数展开方法——对有理分式采用多项式长除法)z(A)z(B)z(X6.3z反变换（续）③幂级数展开时的排幂方法◆收敛域|z|Rx-时（右序列），X(z)展成z的降幂级数X(z)=x(n)zn+x(n-1)zn-1+x(n-2)zn-2+…◆收敛域|z|Rx+时（左序列），X(z)展成z的升幂级数X(z)=x(1)z+x(2)z2+x(3)z3+…6.3z反变换（续）收敛域：|z|3[解]◆由收敛域判定x(n)为右边序列（|z|3）◆将原式按z的降幂排列:[例6-4]用幂级数法求z反变换x(n)21-13z13z)z(X）（6.3z反变换（续）◆进行多项式长除6.3z反变换（续）◆归纳出幂系数通式由此得：6.3z反变换（续）1.拉普拉斯变换与z变换定义式的比较：z=esT时抽样序列的z变换就等于理想采样信号的拉普拉斯变换。6.4z变换与拉普拉斯变换的关系拉普拉斯变换Z变换抽样f(n)=f(nT）映射z=esTsTez|)z(F)s(F2.拉普拉斯变换与z变换的数式关系：◆复平面：z平面s平面◆坐标系：◆映射关系：TerσT模与实部对应相角与虚部对应jsjωrez（极坐标）（直角坐标）sTezjΩ)T(σezjωrez6.4z变换与拉普拉斯变换的关系（续）3.拉普拉斯变换与z变换的映射关系图①（）Terr的关系：与1r01r01r0；；②（s到z平面的映射是多值映射）T的关系：与s左半平面例,右半平面类似T1.系统函数与差分方程的关系◆线性时不变系统的差分方程描述式◆若系统初始状态为零，两边取Z变换，则得系统函数：6.5离散时间系统的z变换分析法系统函数[例6-5]利用z变换求系统单位冲激响应。[解]◆求系统函数H(z)◆6.5离散时间系统的z变换分析法（续）2.利用z变换求解差分方程利用z变换求解系统零状态响应思路：Z变换差分方程零状态响应Z反变换6.5离散时间系统的z变换分析法（续）[例6-6]已知系统差分方程如下，求该系统的零状态响应。[解]：由差分方程求系统z域的输出响应Y(z)：由Y(z)求z反变换，得系统时域的零状态响应：6.5离散时间系统的z变换分析法（续）