第2章连续时间信号与系统的时域分析

1第2章连续时间信号与系统的时域分析2.1系统微分方程的建立及算子表示2.2零输入响应2.3零状态响应2.4卷积积分2.5LTI连续时间系统时域分析举例122LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。32.1系统微分方程的建立及算子表示2.1.1系统方程的算子表示法如上面所示，描写线性系统的激励函数和响应函数间关系的微分方程形式看起来很复杂，为了方便起见，把微分算子用符号p来代表，如令，通过引入算子符号，可以把微积分方程在形式上变成代数方程。它的优点一是简化方程的列写(特别是联立方程消元)，一是通过引入系统转移算子H(p)的概念，便于形成系统分析的统一的方法。先引入算子的定义，再由定义导出其“运算”规则，最后介绍如何用算子法列写微分方程。3积分算子微分算子算子符号dtdpnnnnnndtxdxpdtdpdtdxpx,,dpt1dxxpt1452.1系统微分方程的建立及算子表示例用算子法表示下面的微分方程。解:根据微分算子与积分算子的定义，上式可表示为5还可以将上式改写为62.1系统微分方程的建立及算子表示例利用广义微分算子与广义积分算子来表示下面的微分方程。解：由广义微分算子与广义积分算子可写微分方程的算子方程如下其中6微分方程的算子形式tfbtpfbtfpbtfpbtyatpyatypatypmmmmnnnn1110111......算子方程tfbtfdtdbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdatydtdmmmmmmnnnnnn111101111......7tfpDpNtytfpHtytfbtpfbtfpbtfpbtyatpyatypatypmmmmnnnn1110111......tfapapapbpbpbpbtynnnnmmmm1111110......8NpDpHp92.1系统微分方程的建立及算子表示例2-3求下面微分方程的转移算子H(p)解：可将上述方程改写为根据转移算子的定义，上式可进一步表示为9也即102.1系统微分方程的建立及算子表示2.算子的运算规则（1）由P的多项式所组成的运算符号可以像代数式那样相乘和因式分解。特殊情况：10112.1系统微分方程的建立及算子表示特殊一：这里也像代数式中一样，分子分母中的p可以消去。但是这里除非x(-∞)=0，否则分母和分子中的p就不能消去。这表明在一般情况下，有11122.1系统微分方程的建立及算子表示特殊二：若将式两边积分，可得（c为积分常数）对于等式px=py，双方的算子p一般也不好消去。以上讨论说明，代数量的运算规则对于算子符号一般也可以用，只是在分子分母中或在等式两边中的算子符号不能随便消去。12132.1系统微分方程的建立及算子表示3.算子方程组的消元为了要从一个n阶电路的n元一次算子方程组得到一个形式为的一元n阶算子方程，必须将原方程组中除响应变量.y(t)以外的其他未知量系统消去。在掌握了算子的运算规则之后，就可以较为方便地做到这一点。13电感和电容的算子表示tLpitidtdLtLLLtiCpdiCtCCtC11Lp电感算子符号，理解为电感的感抗值Cp1电容算子符号，理解为电容的容抗值14电感电容teRLi5H1F61titetipp65tpetitpitip652tedtdtitidtdtidtd6522CLpLppCp6115例题如下图所示电路，为激励信号，响应为，用算子法求其算子方程、传输算子以及微分方程。teti2te112H2H1ti1ti2te112p2pti1ti21603132121tiptpitetpitip利用克莱姆法则，解出:teppppptpeppppptepti2/35213102313013222系统函数为：2/3522ppppHtpetipp2123522微分方程为：tedtdtitidtdtidtd2123522222te112p2pti1ti217182.2零输入响应yx(t)2.2.1yx(t)的定义2.2.2yx(t)的求法2.2.3系统的自然模式返回首页1819系统在无外加激励作用下，仅由系统的初始状态所引起的响应称为系统的零输入响应，记为yx(t)。系统的零输入响应完全由系统的结构与状态决定，而与激励信号无关。在式(2-8)中令f(t)=0，得到齐次方程yx(t)就是齐次方程(2-11)的解。2.2.1yx(t)的定义1920其中，D(p)称为系统的特征多项式，方程D(p)=0叫做系统的特征方程，特征方程的根称系统的特征根。先来讨论比较简单的一阶、二阶齐次方程的情况，然后推广至n阶方程。2021一阶与二阶齐次方程的解一阶齐次方程的一般形式为即通过分离变量，上式可改写为2122对两边积分得其中，k是积分常数。从而可得其中，C=ek是待定系数，由系统的初始条件决定。例如，将初始状态yx(o)代入式(2-14)即可得2223从而得到一阶齐次方程的解为二阶齐次方程的一般形式为其中，a,b是常数。其算子方程为2324将上式中的D(p)作因式分解从而将式(2-16)改写为不难看出，λ1与λ2是特征方程D(p)=0的两个特征根由此可以得到满足上述方程的两个一阶方程2425它们的解分别为其中，C1,C2为待定系数。显然，yx1(t)与yx2(t)都是解，且彼此线性无关，因此零输入响应的计算通式为如果给定初始状态为2526将这些条件代入式(2-19)及其微分式可得解之，可得Cl与C2的具体数值，从而最后确定yx(t)。例2-5某系统输入/输出微分算子方程为己知初始条件yx(0)=3，y’x(0)=6，求系统的零输入响应yx(t)。2627解：由题意知因为所以把yx(0)=3，y’x(0)=6，代入上式可得所以系统的零输入响应为2728n阶齐次方程的解上述二阶方程的解，可以推广至n阶方程即首先求出特征方程的n个根λ1，λ2，…，λn。然后将式(2-20)改写为2.2.2yx(t)的求法28290)(pDtpntptpxneAeAeAty2121)(1.当的根(特征根)为n个单根(不论实根、虚根、复数根)p1，p2，…，pn时，则yx(t)的通解表达式为29302.λ1是一个k重根，即其中，待定系数可由初始状态0)()(,,)()()()(112111111tecetctcctyppppDnjtjtxnnj则：均为单根。重根，是其中设3031例2-6己知系统的方程为初始状态为，，求系统的零输入响应yx(t)。3132解:令f(t)=0，得齐次方程将D(p)作因式分解得3233可见，系统的特征根λ1=-1是单根，而λ2=-3是一个二重根，据此可写出yx(t)为将初始状态代入上式得解之得因此，系统的零输入响应为33342.2.3由转移算子H(p)求系统的零输入响应从以上的讨论可以看出，只要己知系统的特征多项式D(p)及初始状态，就可以求出系统的零输入响应。因此，知道系统的转移算子H(p)和初始状态，也就可以直接求出yx(t)前面己指出，转移算子是一种把输入与响应联系起来的系统数学模型的简洁表示，即3435因此，只要知道H(p)，就可以从它的分母D(p)求出系统的特征根，亦即H(p)的极点λ1，…，λn，从而写出系统的零输入响应的一般式再根据初始状态，求出待定系数Cj,j=1～n，最后确定yx(t).3536例2-7己知系统微分方程为初始状态,计算零输入响应。解:用算子表示原微分方程，得转移算子容易看出，转移算子的极点为λ1=-2,λ2=-3。从而可以直接写出y(t)的零输入响应为3637将初始状态代入上式得解之得将C1与C2代入yx(t)得37382.2.4算子法求解yx(t)的步骤第一步，将D(p)进行因式分解，即其中，λi和ri分别是系统特征方程的第i个根及其相应的重根阶数。第二步，求出第i个根λi对应的零输入响应yxi(t)，即3839第四步，根据给定的零输入响应初始条件确定常数（i=1,2，….l)第三步，将所有yxi(t)（i=1,2，….l)相加，得到系统的零输入响应，即39402.2.3系统的自然模式1.系统零输入响应是由指数函数项组成λi是系统特征方程D(P)=0的特征根。每一个特征根λi在响应中对应的指数项称为响应的一个模式或自然模式。2.系统零输入响应中各项的模式，定义为系统的自然模式。系统的自然模式由系统唯一确定。3.如果H(P)有n个特征根，零输入响应yx(t)中就有n个模式。对于同一个系统，不同的响应信号与激励f(t)之间的转移算子一般具有相同的分母，即D(P)。因此，同一系统中不同响应变量的零输入响应具有相同的模式，不同的只是各指数项的系统。titiiete1或40412.3零状态响应yf(t)2.3.1零状态响应的定义2.3.2系统的单位冲激响应2.3.3系统的单位阶跃响应2.3.4yf(t)的求法返回首页41422.3.1零状态响应的定义系统在输入信号的单独作用下（初始状态为零）产生的响应分量，称为系统的零状态响应分量，记为yf(t)。是方程yf(t)=H(p)f(t)在初始状态为零时的解。42432.3.2系统的单位冲激响应1、定义：输入为单位冲激信号δ(t)的零状态响应分量，称为系统的单位冲激响应，简称冲激响应，记为：h(t)。是方程h(t)=H(p)δ(t)在初始状态为零时的解。h(t)由系统唯一确定43440t)(t(1)0t)(thLTI系统)(t)(th图2-1冲激响应示意图4445冲激响应的求法转移算子法直接求解法45462、一些简单系统的h(t))(21123ttp)()()()(tpHthpH)(!111ttnpnnkp-lkelte(t)k(p-l)2ktelte(t)))(()(为正整数ntpnn)(1tp)(12ttp46冲激响应转移算子求解法47简单系统1H(p)=y(t)f(t)=Kp-l)()()('tKftyty)()()('tKftytyff)()()('tKthth()()thtKet47'()()()[()]()tttttdehtehtketehtketdt两边从0-到t取定积分：0()(0)()()ttehthkedkt()()thtket冲激响应转移算子求解法48简单系统2H(p)=y(t)f(t)=K(p-l)2系统冲激响应h(t)满足的算子方程为()(()))(phpKtt1()()()()thtphtKet'()()()ththtKet()()thtKtet两边同乘以并取积分得te()tdx()()thtKtet1(()))(htpKt48冲激响应转移算子求解法49将上面的结果推广