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当前位置:首页 > 财经/贸易 > 资产评估/会计 > 高中数学专题辅导《导数的三板斧之切线-切线与同构》
专题1导数的三板斧之切线切线、同构、分而治之被称为导数的三板斧,这也是导数求最值证明不等式的核心力量,如果需要一个打辅助的,那就是“指数找基友,对数单身狗”,以此作为本章开篇是因为这三板斧均在秒1和秒2中闪亮登场,作为指对跨阶新贵,同构更是大篇幅介绍,点燃了2019年的一把火,相比之下,有一个绝招却被大家忽视了,这就是分而治之。2020年,三板斧聚齐,才能形成闭环效应,缺一不可。第一讲切线的根基玩法xey在点)10(,处的切线方程为1xy,我们通常表示为1xex,当仅当0x时等号成立;xyln在点)01(,处的切线方程为1xy,我们通常表示为1lnxx,当仅当1x时等号成立;这两个是全天下皆知的事情,殊不知所有切线,都可以按照这个套路法来求。xey在点)1(e,处的切线方程我们可以按照不等式等效替换法求得,抓住1x是切点,故将原来的x替换为1x,即exexexx1)1(1,故切线方程为exy,同理,xey在点)1(1e,处的切线方程可以根据exeexexx211)1(1求得exey21;xey的切线方程为bxy2,抓住2k,由于我们所知道的切线方程斜率为1,故可以通过除法变成熟悉形式:bxxexebxebxexxxx222ln2212ln2222ln,根据此不等式,我们可以得出三个结论:①xey在斜率为2的位置的切线方程为2ln222xy,②若bxex2恒成立,则2ln22b;③2ln22axex恒成立,则20a.xyln的切线方程为bxy2,抓住x2为整体,bxxxxx22ln12ln122ln,根据此不等式,我们可以得出三个结论:①xyln在斜率为2的位置的切线方程为2ln12xy,②若bxx2ln恒成立,则2ln1b;③2ln1lnaxx恒成立,则2a.xyln在点)2ln2(,处的切线方程,我们抓住2x是切点,即12x,故将原来的x替换为2x,即2ln12ln122lnln122lnxxxxxx,故切线方程为2ln12xy,同理,xyln在点)1(,e处的切线方程可以根据exxexexln1ln,求得切线exy;秒杀秘籍:指数对数切线找点指数切线切点找点:100xxexx,转化为)1(000xexeexxx对数切线切点找点:1ln00xxxx,转化为00ln1lnxxxx指数切线斜率找点:)ln1(ln0kkbkxbkxex,对数切线斜率找点:kbkxbkxxln11ln0,总结归纳起来,就是指数平移找点,对数倍缩找点,那么在一些其它常见函数,是否也有类似性质呢?我们介绍几个常见的切线不等式,在1x作为切点时,122xx,xx21;用2x替换1x当中切线不等式的x,可得在2x作为切点时,442xx,411xx;同理,当0xx作为切点时,用0xx替换x得:20022xxxx,20021xxxx;这个都是倍缩找点,通常都是按照1x的切线方程进行0xx替换,这种方式适合对数函数、反比例函数、对勾函数和飘带函数等,这一系列函数通常为凸函数,通常在0x处没有意义。关于平移找点,通常出现在0x有切线的凹函数,比如指数函数,二次函数,三次函数等,关于1xex、02x和03x这三个在0x处的切线不等式,为了求得1x处的切线不等式,我们分别用1x替换,exexexx1,120)1(22xxx,2313)12(31330)1(233xxxxxxx,虽然三次函数切线式我们很少这样求,但我们仅用此来解释切线找点方法.当然,有的也需要根据题意去变化,)1ln(xx和122xex这些式由于题目给到了)1ln(x和xe2这类非原始的指数对数函数,关键问题还是找准切点进行放缩.秒杀秘籍:切线求和定理)(xfy与)(xgy在点0xx的切线方程分别为)(1xly和)(2xly,则)()(xgxfy在点0xx处的切线方程为)()(21xlxly.例如:)2lnln(2lnxexeyxx在点1x处切线方程为xey切线exy与2lnlnxy的切线)2ln1(xy的和,即2ln1)1(xey.例1.(2019•上高县校级月考)已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=ln(﹣x)﹣x,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是()A.2x+y﹣1=0B.2x﹣y﹣1=0C.2x+y+1=0D.2x﹣y﹣3=0解:法一:设0x,则0x,()fx为奇函数,且当0x时,()()fxlnxx,()()fxfxlnxx,则1()1(0)fxxx,则(1)f2,又(1)f1,曲线()yfx在点(1,(1)f)处的切线方程是12(1)yx,即210xy.故选:A.法二:根据奇函数定理可知0x时,xxxfxfln)()(,由于xy切线为xy,xyln在1x处切线为1xy,即)(xfy切线为12xy.故选:A.例2.(2018•南山区校级期末)已知曲线C的方程为y=ln(x+1)+e2x,则曲线C在点A(0,1)处的切线方程为()A.y=3x+1B.y=2x+1C.y=﹣3x+1D.y=﹣2x+1例3.(2019•河南月考)若曲线y=ex+1在x=0处的切线,也是y=lnx+b的切线,则b=()A.﹣1B.2C.eD.3解:法一:y'=ex,∴x=0处的切线斜率为k=1,又∵切点(0,2),∴x=0处的切线方程为y=x+2,∵y=lnx+b的导数为y' ,设切点坐标为(x0,y0),∴ 1,∴x0=1,y0=x0+2=3,∴切点坐标为(1,3),代入y=lnx+b,得:b=3,故选:D.法二:3ln31111xxxex,得:b=3,故选:D.例4.(2019•河南月考)若函数f(x)=e2x+1,则曲线y=f(x)在点 晦 , 晦 处的切线方程为()A.2x+y+2=0B.2x﹣y+2=0C.2x+y﹣2=0D.2x﹣y﹣2=0解:法一:21()xfxe,01()12fe,又21()2xfxe,1()22f.曲线()yfx在点11(,())22f处的切线方程为112[()]2yx,即220xy.故选:B.法二:抓住切点21x,即012x,故11212xex,,即220xy.故选:B.例5.(2019•南阳期中)设函数()xfxxe,直线ykxb是曲线()yfx的切线,则kb的最大值为()A.eB.2C.1eD.1e例6.(2019•烟台期中)已知函数2()fxx的在1x处的切线与函数()xegxa的图象相切,则实数(a)A.eB.2eeC.2eD.ee例7.(2019•昌江区校级期中)函数2()fxx,()2gxlnxa的图象有公共点,则(a)A.[,)eB.(1,)C.[1,)D.(,1]例8.(2019•福建月考)若直线ykxb既是曲线2ylnx的切线,又是曲线(3)ylnx的切线,则b.注意:此题有一个结论,就是两个形状完全相同的函数公切线,斜率一定为平移的纵坐标(下移)比上横坐标(左移)的比值,本题32k,即为2lnxy经过下移2个单位和左移3个单位后得到)3ln(xy,这个具体的证明可以参考秒1的《数形结合秒杀公切线》专题。第二讲六大函数切线问题学习导数,一定要拿下常规的六大函数为xxey、xexy、xeyx、xxyln、xxyln、xxyln,由于在之前秒2的同构式介绍了很多六大函数,这里就只介绍他们切线的表达式.先选取函数xxey在0x处切线不等式xxex,再选取1x处进行变换,根据切线找点定理,用1x替换x得:eexexexexxxx1)1(1,再根据切线求和定理得eexeexexexx2,再同除以x得:xeeeeexxexx22,故xex121,如图可知,由于xey和反比例函数属于凹凸不一致,故此函数的切线切点变化空间相对比较狭窄,变化更多的显然在对数函数,这也印证了那句口诀,指对混合型不等式,往往“放对再放指,不行找基友”。关于xeyx,通常的切线在2x处,即xexex42,其实就是来自22242xeeexeexexxx的推导式;关于对数切线,最常见的就是切线的不等式连串,xxxxxxxxlnln1ln2,当仅当1x时等号成立(如图),证明过程均来自不等式xxln1的推导,具体切线放缩技巧我们会在例题中一一道来;例9.(2019•贵州期末)若曲线()xfxmxen在点(1,(1)f)处的切线方程为yex,则mn的值为()A.12eB.12eC.12D.2e解:法一:由()xfxmxen,得()xxfxmemxe,又曲线()xfxmxen在点(1,(1)f)处的切线方程为yex,(1)(1)fmemefmemee,解得122men,12emn.故选:A.法二:2122enmexnmemexnmxeeexxexx.故选:A.例10.(2019•香坊区校级期末)已知函数1()1xefxx,则函数()fx在1x处的切线方程为()A.410xyB.410xyC.0xyD.430xy例11.(2019•内考月考)曲线2()fxxxlnx在点(1,(1)f)处的切线与直线10xay平行,则(a)A.13B.12C.1D.2例12.(2019•临夏市校级月考)函数1()lnxfxx的图象在1xe处的切线方程是()A.10exyB.10exyC.20exyeD.20exye例13.(2019•南平期末)设函数()fxxlnx的图象与直线2yxm相切,则实数m的值为()A.eB.eC.2eD.2e例14.(2019•杏花岭区校级月考)若P是函数()fxxlnx图象上的动点,点(01)A,,则直线AP斜率的取值范围是()A.[1,)B.[0,1]C.1(e,]eD.(,1]e例15.(2019•沙坪坝区校级月考)曲线(21)xyxe在点(0,1)处的切线方程为.例16.(2019•安康月考)若曲线2()(1)xfxaxe在点(2,(2)f)处的切线过点(33),,则函数()fx的单调递增区间为()A.(0,)B.(,0)C.(2,)D.(,2)第二讲双变量乘积最值问题秒杀秘籍:找点+同构秒杀双变量乘积最值根据指数切线斜率找点:2ln2ln)ln1(ln2222220eeaeaeeaaabaabaxbaxex,根据对数切线斜率找点:201ln1)ln1(ln11lneaeaeeaaababaxbaxx,有关baxex或者baxxln恒成立,求ab的最大值问题,最早来自于2012高考,此类型题就是切线+同构求出最值,在之前秒1里面,我们介绍了零点比大小来秒杀双变量比值以及双变量加法问题,其几何本质就是在零点位置相切,双变量乘法本质来自于切线斜率和截距乘积,在最后最值得处理中往往需要用到同构.例17.(2012•新课标)已知函数()fx满足()(1)fxf121(0)2xefxx;(1)求()fx的解析式及单调区间;(2)若21()2fxx
本文标题:高中数学专题辅导《导数的三板斧之切线-切线与同构》
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