第3章_含时间因素的货币等值计算

第三章含时间因素的货币等值计算讲授内容一、利息计算公式二、等值的计算三、电子表格的运用一、利息计算公式（一）利息的种类•1、单利利息；2、复利利息（二）现金流量图（CashFlowDiagram）（三）利息计算公式•1、一次支付复利公式；2、一次支付现值公式•3、等额支付系列复利公式；4、等额支付系列积累基金公式•5、等额支付系列资金恢复公式；6、等额支付系列现值公式•7、均匀梯度系列公式（四）运用利息公式应注意的问题（五）名义利率和有效利率•1、离散式复利；2、连续式复利（一）利息的种类假设以年利率6%借入资金1000元，共借4年，其偿还情况如表所示：年年初欠款年末应付利息年末欠款年末偿还110001000×0.06=6010600210601000×0.06=6011200311201000×0.06=6011800411801000×0.06=6012401240年年初欠款年末应付利息年末欠款年末偿还11000.001000×0.06=60.001060.00021060.001060×0.06=63.601123.60031123.601123.60×0.06=67.421191.02041191.021191.02×0.06=71.641262.481262.481、单利计息即每期均按原始本金计算利息，这种计息方式称为单利（计息）。利息与时间呈线性关系，不论计息期数为多大，只有本金计息，而利息本身不再计息。设P代表本金，n代表计息期数，i代表利率，I代表所付或所收的总利息，F代表本利和，则有：I=PniF=P(1+ni)2、复利计息将本期的利息转为下期的本金，下期将按本利和的总额计息，这种计息方式称为复利（计息）。同样设P代表本金，n代表计息期数，i代表利率，I代表所付或所收的总利息，F代表本利和，则有：F=P(1+i)nI=P{(1+i)n−1}年年初欠款年末应付利息年末欠款年末偿还11000.001000×0.06=60.001060.00021060.001060×0.06=63.601123.60031123.601123.60×0.06=67.421191.02041191.021191.02×0.06=71.641262.481262.48我国银行目前名义上用的还是单利计算，只是通过存期的不同，规定不同的单利利率。我国当前居民银行存款利率：一年（2.25%）；二年（2.79%）；三年（3.33%）；五年（3.60%）贷款利率：半年至一年（5.31%）；一至三年（5.40%）；三至五年（5.76%）；五年以上（5.94%）符号定义：P—现值F—终值i—年利率n—计息期数A—年金（年值）Annuity计息期末等额发生的现金流量G—等差支付系列中的等差变量（三）利息公式第一年年初:P第一年年末:P(1+i)第二年年末:P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2……第n年年末:P(1+i)n（三）利息公式1、一次支付复利公式F=P（1+i）ni——利率(interestrate)；n——计息期数(number)；P——现在值(PresentValue/worth)；F——将来值(FutureValue/worth)；(1+i)n——一次支付复利系数(single-paymentcompoundamountfactor)，有时记为（F/P,i,n）,则有F=P(F/P,i,n)案例在第一年年初，以年利率6%投资1000元，则到第四年年末可得本利和多少？2、一次支付现值公式一次支付现值系数案例为了在第四年年末得到1262.50元，按年利率6%计算，现在必须投资多少？答：或4111262.501000(1)(10.06)nPFi元/,6%,41262.50(0.7921)1000PFPF（P/F,i,n）元3、等额支付系列复利公式…等额支付系列复利系数案例连续5年每年年末借款1000元，按年利率6%计算，第5年年末累积借款多少？答：4、等额支付系列积累基金公式等额支付系列积累基金系数案例如果要在第5年年末得到资金1000元，按年利率6%计算，从现在起连续5年每年必须存储多少？答：⒌等额支付系列资金回收（恢复）公式等额支付系列资金回收现金流量图0123……………….n-1n年PAAA……………….？=AAF=（A/P，i，n）_____资金回收系数（capitalrecoveryfactor）(1+i)n-1i(1+i)nAFiin11FPin1而于是=P（A/P，i，n）i=(1+i)n-1A(1+i)nP5、等额支付系列资金恢复公式等额支付系列资金恢复系数案例如果现在以年利率5%投资1000元，在今后的8年中，每年年末以相等的数额提取回收本利和，则每年年末可以等额提取多少？6、等额支付系列现值公式等额支付系列现值系数案例按年利率6%计算，为了能够在今后5年中每年年末得到100万元的利润，假设不考虑残值的影响，现在应投资多少？答：7、均匀梯度系列公式某工厂购进一台机器设备，每年都需要设备制造商提供一次有偿维护服务，该机器设备随着使用而日益老化，所需劳动力和备件将越来越多，所需维护费用也将逐步增加，该工厂可选择以下两种维护费支付方式：（1）在使用n年以后再支付前n年的维护费；（2）在购进机器时一次性支付n年维护费；已知第一年年末的维护费用为A1，当每年的维护费用以相同的金额G增加时，在考虑资金时间价值的情况下，这两种方式分别应支付多少维护费？7、均匀梯度系列公式01234n-1nA1A1+GA1+2GA1+3GA1+(n-2)GA1+(n-1)G均匀增加支付系列现金流量图如果将上面现金流量图转化为等额支付系列：（1）第一种支付方式：等额支付系列复利公式（F）；（2）第二种支付方式：等额支付系列现值公式（P）；7、均匀梯度系列公式01234n-1nA1A1+GA1+2GA1+3GA1+(n-2)GA1+(n-1)GG2G3G(n-2)G(n-1)GA1A1A1A1A1等额梯度A=A1+A201234n-1nA1A1A1A1A1A1A2A2A2A2A2A2等额AAAAAAA2=?7、均匀梯度系列公式01234n-1nGGGGGGn-1n-2n-3n-421F2=?G(F/A,i,1)G(F/A,i,2)G(F/A,i,n-4)G(F/A,i,n-3)G(F/A,i,n-2)G(F/A,i,n-1)+…+++++F2=等额支付系列积累基金公式等额支付系列资金恢复公式等额支付系列复利公式：7、均匀梯度系列公式21221122112(/,,1)(/,,2)(/,,2)(/,,1)(1)1(1)1(1)1(1)1(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(1)(1nnnnnnFGFAinGFAinGFAiGFAiiiiiGGGGiiiiGiiiiniGiii2)(1)1nGiii2(1)1nGinGFiii22(1)1(1)1(1)1(/,,)(1)11(/,,)nnnniGinGiAFiiiiiGnGiGnGAFiniiiiinGAFinii等额支付系列复利系数梯度系数（A/G,i,n）案例假定某人第一年末把1000元存入银行，以后9年每年递增存款200元。如果年利率为8%，把这笔存款折算成10年的年末等额支付系列，相当于每年存入多少？答：1/,8%,10(/,,)1000200(3.8713)1744/AGAAGAGin元年案例假定某人第一年末把5000元存入银行，以后5年每年递减600元。如果年利率为9%，把这笔存款折算成6年的年末等额支付系列，相当于每年存入多少？答：1/,9%,6(/,,)5000600(2.2498)3650/AGAAGAGin元年等比梯度系列01234n-1nAA（1+g)等比梯度系列现金流量图A（1+g)2A（1+g)3A（1+g)n-2A（1+g)n-18、运用利息公式应注意的问题（1）为了实施方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初；（2）方案实施工程中的经常性支出，假定发生在计息期末；（3）本年的年末即是下一年的年初；（4）P是在当前年度开始时发生；（5）F是在当前以后的第n年年末发生；（6）A是在考察期间各年年末发生。当问题包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当问题包括F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生；（7）均匀梯度系列中，第一个G发生在系列的第二年年末。（四）名义利率和有效利率当利率的时间单位与计息期不一致时，就出现了名义利率和有效利率的概念。有效利率(effectiveinterestrate)：资金在计息期所发生的实际利率。(年)名义利率(nominalinterestrate)：当计息期短于一年时，每一计息期的有效利率乘上一年中计息期数所得到的年利率。例如，“每半年计息一次，计息期的利率为3%”，•3%为实际计息用的利率，即有效利率。•3%×2=6%为(年)名义利率。（四）名义利率和有效利率有效利率和名义利率的关系实际上是复利和单利的关系。例如，“年利率12%，每月计息一次”。此时，12%为名义利率，年有效利率为：案例如果实际的年有效利率为12%，按每月计息一次，那么实际的月有效利率为多少？年名义利率为多少？解析：假设月实际利率为r，则有：(1+r)12=1+12%从而可估算出月有效利率为0.95%；年名义利率为：12×0.95%=11.4%。1、离散式复利离散式复利：按期（年、季、月和日）计息的方法。例如：年利率为6%，每半年计息一次，有效年利率是多少？年利率为6%，每月计息一次，有效年利率又是多少？两者进行比较后可以得出什么结论？一年中计算复利的次数越频繁，则年有效利率比年名义利率越高。1、离散式复利如果名义利率为r，一年中计算利息n次，每次计息的利率为r/n，根据一次支付复利系数公式，年末本利和为：案例假定某人把1000元进行投资，时间为10年，利息按年利率8%，每季度计息一次计算，求10年末的将来值？解析：每年计息4次，10年的计息期为4×10=40次，每一计息期的有效利率为8%÷4=2%，10年末的将来值：名义利率为8%，每年的计息期n=4,年有效利率为：/,2%,401000(2.2080)2208FPF元40.08118.2432%1000(/,8.2434%,10)4iFFP名义利率为6%，计息期不同时的年有效利率比较：计算复利的方式一年中的计息期数各期的有效利率（%）年有效利率（%）按年16.00006.0000按半年23.00006.0900按季41.50006.1364按月120.50006.1678按日3650.01646.1799连续地∞0.00006.1837由小到大频率增大连续复利下的利息计算公式二、等值的计算478.20012345678年300i=6%012345678年i=6%同一利率下不同时间的货币等值在某项经济活动中，如果两个方案的经济效果相同，就称这两个方案是等值的。例如：在年利率6%情况下，现在的300元等值于8年末的300×(1+0.06)8=478.20元。这两个等值的现金流量如下图所示。（一）等值的概念即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等；反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值却可能相等。货币的等值包括三个因素金额金额发生的时间利率如果两个现金流量等值，则在任何时间其相应的值必定相等。货币等值是考虑了货币的时间价值