第3章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析

信号与系统§3.1引言信号与系统变换域分析变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信号，或者说，信号用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。采用变换域分析的目的：主要是简化分析。)(tf)(tf信号与系统连续时间LTI系统的时域分析:以冲激函数为基本信号；系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积。傅立叶分析:以正弦函数或复指数函数作为基本信号;系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分。傅立叶分析信号与系统频谱分析：把信号表示为不同频率正弦分量或复指数分量的加权和，简称信号的谱分析。傅立叶分析：用频谱分析的观点来分析系统，或称为系统的频域分析。频域分析法在系统分析中极其重要，主要是因为：(1)频域分析法易推广到复频域分析法，同时可以将两者统一起来；(2)利用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真、滤波、调制等许多实际问题，并可获得清晰的物理概念；(3)连续时间系统的频域分析为离散时间系统的频域分析奠定坚实基础。(4)简化了求解微分方程的过程傅立叶分析信号与系统§3.2周期信号的傅立叶级数展开信号与系统周期信号:定义在区间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号，如图所示。它可表示为f(t)=f(t+mT)周期信号(,)ttf11T2/T0其中m为正整数，T称为信号的周期，周期的倒数称为频率。信号与系统周期信号的特点：（1）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间范围为(,)0()()nftftnT0()()()aTbTTabftdtftdtftdt周期信号0()ft()ft（2）如果将周期信号第一个周期内的函数写成，则周期信号可以写成（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有信号与系统正交性:（m和n都是整数）一、周期信号的傅立叶级数三角函数集:在区间内是一完备正交函数集。},sin,,2sin,sin,,cos,,2cos,cos,1{000000tntttntt(,)ttT00T200020dcoscos0000nmTnmTnmttntmTttsinsinmtnttmnTmnttT0000020dsincosmtnttttT00000d信号与系统正交性:（m和n都是整数）指数函数集在区间内也是一完备正交函数集。(,)ttT00T20},2,1,0}(e{0jntnnmTnmttTtttmnTtttmtn=0dedee0000000)(jjj一、周期信号的傅立叶级数信号与系统式中各正、余弦函数的系数，称为傅立叶系数。周期信号，周期为，角频率ft()T0022fT1000020102010sincos2sinsin2coscos)(nnntnbtnaatbtbtataatfnnba,1.三角形式的傅立叶级数该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数：一、周期信号的傅立叶级数信号与系统根据正交函数展开理论，容易得到傅立叶系数公式如下式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取,2,1dsin)(2,2,1dcos)(2d)(1000000000nttntfTbnttntfTattfTaTttnTttnTtt(,)0T(,)TT22或一、周期信号的傅立叶级数信号与系统三角形式的傅立叶级数两种形式之间系数有如下关系:或100cos)(nnntnAAtf0022n1,2,arctgnnnnnAaAabnbaaAaAnbAnnn0012cos,,sinnnn0001()cossinnnnftaantbnt一、周期信号的傅立叶级数还可以写成下面形式信号与系统其中直流分量：0A基波：101cos()At二次谐波：202cos(2)At依次类推，还有三次谐波、四次谐波、高次谐波等概念。周期信号的傅立叶级数展开说明周期信号可以分解为直流分量、基波分量以及各次谐波分量之和。。根据前面的傅立叶系数公式知道：是n的偶函数，是n的奇函数。是n的偶函数，是n的奇函数。nanbnAn一、周期信号的傅立叶级数信号与系统例：将图示的对称方波信号展成三角形式傅立叶级数ttf11T2/T0解：直接代入公式有0d)(100TttfTa一、周期信号的傅立叶级数信号与系统直接代入公式有0)(sin12)sin(12dcos)1(2dcos)1(2dcos)(220000200200020220TTTTTTntnnTtnnTttnTttnTttntfTa,5,3,1=4,6,4,2=0)cos1(2)cos(12cos12dsin)(220000200220nnnnntnnTtnnTttntfTbTTTTn一、周期信号的傅立叶级数信号与系统所以有fttttnnt()[sinsinsinsin]413315510000,5,3,1=4,6,4,2=0nnnbn0na一、周期信号的傅立叶级数信号与系统式中称为傅立叶系数，是复数。周期信号，周期为，角频率ft()T0022fTnFftFnntn()ej0该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。2,1,0,=,e)(122j-0ndttfTFTTtnn2.复指数形式的傅立叶级数其中一、周期信号的傅立叶级数信号与系统分量的频率是，而分量的频率是。除了直流分量，单独一个不能构成物理上一个谐波分量，必须是对称的两个分量和才构成物理上的一个谐波分量。在三角形式的傅立叶级数中，系数中的下标变量取值范围为，在复指数形式的傅立叶级数中，系数中的下标变量取值范围是nFnnba,0n(,)tnnF0je0ntnnF0-je0n0FtnnF0jetnnF0jetnnF0-je一、周期信号的傅立叶级数信号与系统两种形式傅立叶级数中系数的关系:001(j)1,2,3,21(j)1,2,3,2nnnnnnFaFabnFabn一、周期信号的傅立叶级数信号与系统例：将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数解：直接代入公式有tAtfTT222Sa=22sinde1de)(100022j-22j-00nTAnnTAtATttfTFtnTTtnne)2Sa(e)(00j-=0jtnnntnnnTAFtf所以一、周期信号的傅立叶级数信号与系统1.周期信号的频谱为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。二、周期信号的频谱与功率谱在傅立叶分析中，把各个分量的幅度或随频率或角频率的变化称为信号的幅度谱。FnAn0n而把各个分量的相位或随频率或角频率的变化称为信号的相位谱。0nnn幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为单边谱，指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为双边谱。信号与系统例0n0nnAnF000020020201F0F2F1F2F0A1A2A单边谱双边谱a0nn0002120n0002020bcn12d12幅度谱幅度谱相位谱相位谱ttttFFFFFtAtAAtf0000j22j2-2j1j-102021010eeee=)cos()cos()(00AFFA1121ejFA1121e-jFA2222ej2j-22e2AF二、周期信号的频谱与功率谱信号与系统周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为频谱图：20nTAFnSa0n0nnF00nab224若把相位为零的分量的幅度看作正值，把相位为±π的分量的幅度看作负值，那么幅度谱和相位谱可合二为一。nF00nc2幅度谱相位谱二、周期信号的频谱与功率谱信号与系统各条谱线顶点的联线称为谱线包络线。如果把按抽样函数规律变化的频谱包络线看成一个个起伏的山峰和山谷，其中最高峰称为主峰。nF00nc2包含信号主要频谱分量的这段频率范围称为矩形脉冲信号的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为主峰高度包络主峰两侧第一个零点为FAT022~02B或1fB二、周期信号的频谱与功率谱信号与系统(3)收敛性——谱线幅度随而衰减到零。各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。n周期信号频谱的特点：(1)离散性——谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱；(2)谐波性——谱线所在频率轴上的位置是基本频率的整数倍；二、周期信号的频谱与功率谱信号与系统典型周期信号的频谱tAtfTT22T：脉冲周期：脉冲宽度A：脉冲幅度12T：三角函数公共周期第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数f(t)是偶函数bn=02222022)(2TAAdtTdttfTaTT二、周期信号的频谱与功率谱信号与系统212sin2222()cossin()TTnnAnAAnTftntdtSanTnTTTTTa第二步：展成指数形式傅立叶级数112()()cos()nAAnftSantTTT)cos()2(2111tnnSaTATAn11221()2jntnnAAdtSaTTeF11()()2jntnnAftSaTe12:T公共周期f(t)t02323144sin()()tftStt二、周期信号的频谱与功率谱信号与系统当时第三步：频谱分析22122()()2nAAnSaSannnnTTTAabanA与之比值有关，取T1()()2nnAAnSaSaTTTF51TnF与包络线均为)2(1nSa1n为离散频率n,......2,20)2(Sa即n2,......4,20)2(SanA二、周期信号的频谱与功率谱信号与系统计算第一个振幅为零的谐波次数n1TA22412131415An幅度频谱图2431tttSasin)(抽样函数234112222155nnTTTnT令将代入得即（取）二、周期信号的频谱与功率谱信号与系统1nnnbtga0an0n0a122()2NjnnASannTAAeFn1()02nSa1()02nSa0Fn0Fn0即即015n相位频谱图16110二、周期信号的频谱与功率谱信号与系统第四步：讨论频谱结构与、T的关系1.当不变，T增大，谱线间隔减小，谱线逐渐密集，幅度减小T010TAT21TA当非周期信号连续频率1n非周期信号连续频谱2.当T不变，减小时TAT不变间隔不变振幅为0的谐波频率,......,42T21二、周期信号的频谱与功率谱信号与系统nF00n2nF0