电动力学电子教案

电动力学电子教案第一章电磁现象的普遍规律本章主要是从基本实验定律出发建立麦克斯韦方程组,讨论边值关系及电介质的电磁性质方程和洛伦兹力公式.这些内容是本书以后各章论述电磁场的理论依据。§1电荷和电场xrRxxxr1、库仑定律OQQ相对于观察者静止的两个点电荷之间的相互作用，在真空中的数学表示式为2014QQFR30()4QQQQxxFxx电荷作用在电荷上的力为库仑定律要求：1电荷必须是点性的；2电荷相对于观察者必须处于静止状态。库仑定律的主要物理内容是：1库仑力是距离的平方反比定律。2电荷在其效果上具有可加性。电场强度矢量定义0()()FxExQ一个静止点电荷激发的电场为30()()4QxxExxx若电荷连续分布在某一区域内3001()()()411()4VVxxxExdVxxxdVxx2、高斯定理和电场的散度001iVQEdSEdSdV高斯定理依据矢量场散度的定义0E3、静电场的旋度依据库仑定律，在点电荷激发的电场中任取一闭合回路，有0Edl根据矢量场旋度的定义0E静电场是无旋场例电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。解：以球心为原点作球坐标系，由于对称性，空间各点的电场强度沿径向，半径相同面上场强大小相等。由高斯定理可知303044QrraErQrraEa当时当时计算电场的散度ra当时321rrrr221（r）=0r3004QrEr因而33000344QQraEraa当时§2电流和磁场1、电荷守恒定律电流区域内电流的分布是用电流密度矢量表示的。电流密度和电流强度的关系为()()SdIJxdSIJxdS在任何物理过程中，“一个封闭系统内”的电荷不能凭空产生，也不能凭空消灭，这个规律称为电荷守恒定律。依据这个定律SVJdSdVt0Jt这是电荷守恒定律的积分形式。应用高斯定理即得微分形式在恒定电流情况下，方程为0J2、毕奥-萨伐尔定律03()4LLIdlIdlxxFxx在真空中回路电流I′作用在回路电流I上的的力为称为安培定律IxrIdlIdlxrRxxI电流激发磁场，磁场对位于场中的电流施力作用。改写安培定律为03()[]4LLIdlxxFIdlxx()Bx方括号中的量是描写磁场特征的量，通常称为磁感应强度矢量。用矢量表示03()()4LIdlxxBxxx这一关系式称为毕奥-萨伐尔定律对于分布电流30301()4()4VBjxdxxxjxdxxx3、磁场的环量和旋度30330()()41()4VVjxxxBdxxxjxdxxx对此式两边取旋度303230033002300()[]411()()441()()()4()()[]()4SjxBdxxxjxdxjxdxxxxxjxdxjxxxdxxxjxdxjxdxjxxxxx3()xxdx0()()Bxjx相应的积分形式是30()4jxBdxxx将两边取散度0LSBdljdS0B积分形式0SBdS01fR例题：一个半径为的均匀带电的薄导体球壳，以恒定速度绕一直径转动，其面电荷密度为。求球心处的磁感应强度矢量。dBdS0RxyzO解:由转动引起的等效面电流分布00sinffzRffeReRedS电流元在球心处激发的磁感应强度为0030004sin4ffdSRdBRdSRR（-e）（-e）利用球坐标基矢与笛卡儿基矢的关系得20000223000000[cossincos4sinsincossin]23fxyzfzRBddeddeddeRe例题2一个半径为a的通有稳恒电流为I的无限长中空圆柱体,其中空部分也是圆柱形,半径为b,但二者不同轴,其中心距为c.求:(1)空间各点的磁场B(2)空间各点处B的散度及旋度2x1x()PxRaBbB(,0)OcbφoR解:将系统看成两个柱体,通以电流密度大小相同而方向相反的电流,其中半径为a的柱体电流与原电流同向,由安培环路定律知2022022()2()0()2(){2aIeRaabRaaIReRaabIBeR2022022()2()0()2()(){2bIeRbabRbbIReRbabIBeR所求磁场为2212222121211222221212[]()()[]()baababBxBxBBBexcxxxBxBxcexxxcx2201122222212122112222212122022122221221122212{[]2()()()[](){[1]2()()()[]()RaIabBeabxxxcxaxxcexxxcxRbRaIbBxeabxcxbxcxexcx当时当，时032222()RbRaIBeab当，时(2)对于磁场散度和旋度,直接运算有123130202200()zBBBBBIBejab§3麦克斯韦方程组sdBdSdt1、电磁感应定律在任何一个闭合导体回路内产生的感应电动势只与穿过回路所围面积的磁感应通量的时间变率成正比，而与其它因素无关。在真空中的数学表示为负号是楞次定律的数学表示导体中电荷的定向运动总是电场推动的lsdEdlBdSdt若回路不动，则式中对时间的全导数可以用偏导数表示BEtlsBEdldSt应用斯托可斯定理2、位移电流00BJJ在稳恒电流情况下但在非稳恒情况下，安培环路定律和电荷守恒定律不相容考虑到电荷守恒定律和时变电荷与时变电场的关系00jEt0()0Ejt安培环路定律可表示为00000()ffEEBJJtt上式的积分式为00()flsEBdlJdSt位移电流0DEJt位移电流的实质是电场的时间变率例题1设有一个球形对称分布的电流，由球心的时变电荷源Q(t)流出，其电流方向都是沿径向的。试求由这电流分布产生的磁场。解:由于电流沿径向外流,故在球心处必有一电荷源不断地产生电荷.用一个半径为r的球面包围球心.则根据电荷守恒定律，在这个球内的电荷变化率为24VVSQdVJdVttJdSrJ314rQrJJetr因此电流分布为而Q在球面上任一点的电场为304QrEr位移电流为0314DEQrJttr每一点处,位移电流刚好抵消传导电流的磁效应.因此不产生磁场。例题2、试对导体中的位移电流做一估计解：设在导体中的交变电场为0cosEEt导体中任一点处的电流瞬态分布为00cossinfDJEEtEJEtt它们的振幅之比为1701521010rDfJffJf当频率低于光波频率赫兹时，在良导体中位移电流与传导电流的相比是微不足道的。3麦克斯韦方程组描写真空中电磁场运动规律的基本方程00000BEtEBJtEB与微分方程组相应的麦克斯韦方程组的积分形式是0010llsVsBEdldStEBdltEdSdVBdS0（J+）dS4洛伦兹力公式efE电荷受电场力作用，力密度为静磁场对电荷的作用，力密度为mfvBJB电磁场对处于其中的电荷的作用力为fEvBEJB一个带电粒子所受的洛伦兹力为FeEevB式中e是粒子所带电量，v是运动速度例题1、证明（1）麦克斯韦方程组是内在一致的方程组（2）麦克斯韦方程组中散度方程对旋度方程的限制作用00000BEtEBJtEB证明（1）根据麦克斯韦方程组对一式两边取散度()()0EBt因此1BC0B表明B的散度与时间无关可以取与四式相比较，可见四式是一式的特例，二者之间无矛盾对二式两边取散度，并应用电荷守恒定律020()0EtEC与三式比较，可见三式是二式的特例，二者之间无矛盾。例题2电磁场由相互垂直的均匀电场E和均匀磁场B构成。一个电子以速度v垂直进入此电磁场内，求电子运动的轨迹。1xB2xE3xv123,,EEeBBevve解：设13231(1)0(2)(3)eEeBxxmmxeBxxm电子在电磁场中的运动方程为1231230,0,0,txxxxxxv当时（4）20x（5）31eBxxCm由（2）和（4）知由（3）得31eBxxvm（6）eBm根据（4）得将（6）代入（1），并设定211exxm（E-vB）112sincosxCtCt12exm（E-vB）其通解为11112sincosexxxCtCtm（E-vB）特解为由此可知120eCEvBm2，C（）由（4）知所以121cosexEvBtm（）（）（7）31cosexvEvBtm（）（）33[sinexvEvBEvBtCme1（）]t-（）m由（7）和（6）知32sinexvtEvBtm（）（t）（8）由（4）知上式常数为0，所以21230sineREvBmxRxxvtRtt令（），则（5）（7）（8）三式可写成（1-cost）（）电子的运动轨迹是在x1x3平面内的一条摆线。例题3在无限大接地金属板前h处有一点电荷+q.求(1)金属板面上的感应电荷分布(2)板面上感应的总电荷解(1)设在板面上任意一点P处的感应面电荷密度为σ′,则此电荷分布与点电荷q在板内紧邻P点处产生的迭加电场的法向分量为零,于是2003223204222()qhrrqhqhrhR因此得(2)在板面上以A为中心,R为半径取一宽度为dR的环带,则金属板上的总感应电荷为2232002()RdRQRdRqhqhR§4介质的电磁性质ipPV1关于介质的概念2介质的极化极化强度矢量单位体积内电偶极矩的矢量和束缚电荷分布与电极化强度矢量是从不同侧面来描写介质极化情况的物理量,它们之间应该有一定的联系.pVSpdVPdSP微分形式n1n2n22P1P1SSpVSdVPdS21nnn21PPnSPnSNS21()PnPP各向同性的均匀介质0ePE3、介质的磁化磁化强度矢量imMVMSlJdSMdl磁化电流与磁化强度矢量的关系其积分形式MJM21nl0n2n1021()mJnlhMMl21()mnMM对于各向同性的非铁磁性物质01mmBM在两种介质的分界面上介质中的麦克斯韦方程组在论及介质中的宏观电磁运动规律时000()0fpMfpBEtEBJJJtEBPPMPPJJMt