高三一轮复习-排列组合

§10.2排列与组合基础知识自主学习要点梳理1．排列(1)排列的定义：从n个元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示．不同顺序所有不同排列(3)排列数公式：Amn＝(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝.排列数公式写成阶乘的形式为Amn＝n！n－m！，这里规定0！＝.2．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数，叫做从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合数，用Cmn表示．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！1合成一组所有不同组合(3)组合数的计算公式：Cmn＝AmnAmm＝＝，由于0！＝，所以C0n＝.(4)组合数的性质：①Cmn＝；②Cmn＋1＝＋.11!!()!nmnm(1)(2)(1)(1)21nnnnmmmnmnCmnC1mnC[难点正本疑点清源]1．组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算．注意公式的逆用．即由n！m！n－m！写出Cmn.2．要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．基础自测1．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．解析①有1名女生：C12C34＝8.②有2名女生：C22C24＝6.∴不同的选派方案有8＋6＝14(种)．142.从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有____个．解析选出符合题意的三个数有C13C23＝9(种)方法，每三个数可排成A33＝6(个)三位数，∴共有9×6＝54(个)符合题意的三位数．543．从3名男生、4名女生中，选派1名男生、2名女生参加辩论赛，则不同的选派方法共有________种．解析从3名男生中选一名有C13种方法，从4名女生中选2名，有C24＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理知，不同的选派方法共有C13C24＝18(种)．184．(2010·北京)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27解析不相邻问题用插空法，先排学生有A88种排法，老师插空有A29种方法，所以共有A88A29种排法．A5．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A．120种B．48种C．36种D．18种解析先安排后2个，再安排前3个，由分步乘法计数原理知，共有C12C13A33＝36(种)不同的播放方式．C题型分类深度剖析题型一排列问题例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．思维启迪：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，(特殊元素先考虑)．解(1)方法一(元素分析法)先排甲有6种，其余有A88种，故共有6·A88＝241920(种)排法．方法二(位置分析法)中间和两端有A38种排法，包括甲在内的其余6人有A66种排法，故共有A38·A66＝336×720＝241920(种)排法．方法三(等机会法)9个人的全排列数有A99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A99×69＝241920(种)．方法四(间接法)A99－3·A88＝6A88＝241920(种)．(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A22·A77＝10080(种)排法．(3)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2880(种)排法．探究提高本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路．变式训练1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻.解(1)从7个人中选5个人来排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2520(种)．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A37种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A37·A44＝5040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)(优先法)方法一甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3600(种)．方法二排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A26种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列有A55种方法，共有A26×A55＝3600(种)．(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576(种)．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A44×A35＝1440(种)．题型二组合问题例2男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．(1)分步．(2)可分类也可用间接法．(3)可分类也可用间接法．(4)分类．思维启迪：解(1)第一步：选3名男运动员，有C36种选法．第二步：选2名女运动员，有C24种选法．共有C36·C24＝120(种)选法．(2)方法一至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)方法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解．从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种．所以“至少有1名女运动员”的选法为C510－C56＝246(种).(3)方法一可分类求解：“只有男队长”的选法为C48；“只有女队长”的选法为C48；“男、女队长都入选”的选法为C38；所以共有2C48＋C38＝196(种)选法．方法二间接法：从10人中任选5人有C510种选法．其中不选队长的方法有C58种．所以“至少有1名队长”的选法为C510－C58＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法．其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有C48－C45种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．探究提高解组合题时，常遇到“至多”、“至少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量．当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足．变式训练2某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是________．(用数字作答)解析从6所高校中任选3所有C36＝20(种)不同选法，其中同时报考2所考试时间相同的选法数为C14＝4(种)，故不同的报名方法种数为：C36－C14＝20－4＝16(种)．16题型三排列与组合的综合应用例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144(种)．思维启迪：把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有C24C22A22·A22种方法．故共有C24(C34C11A22＋C24C22A22·A22)＝84(种)．探究提高排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．变式训练3(2010·湖北)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A．152B．126C．90D．54解析按从事司机工作的人数进行分类：(1)有1人从事司机工作：C13C24A33(或C13C13C24A22)＝108(种)；(2)有2人从事司机工作：C23·A33＝18(种)．∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.B答题模板12．分组与分配问题试题：(12分)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本审题视角(1)这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关．(2)对于平均分组问题，要注意顺序．(3)避免计数的重复或遗漏．规范解答解(1)无序不均匀分组问题．先选1本，有C16种选法；再从余下的5本中选2本，有C25种选法；最后余下3本全选，有C33种选法．故共有C16C25C33＝60(种)．[1分](2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33＝360(种)．[2分](3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A33种情况，而这A33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法