第4章拉氏变换与连续时间系统S域分析1

第4章拉氏变换与连续时间系统S域分析1、拉普拉斯变换2、拉普拉斯变换的性质3、拉普拉斯逆变换4、复频域分析5、系统函数及其稳定性分析主要内容：◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS4.1引言4.1引言傅立叶分析可将任意信号分解为不同频率的虚指数函数之和，使系统响应的求解得到简化；给出的结果有清楚的物理意义。但也存在明显不足：一、傅立叶分析应用条件上的限制：（1）运用傅立叶分析必须满足一定的条件，因而限制了它的应用范围；（2）对于给定初始状态的系统难于进行频域分析。◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS针对第一个问题——即找到一种新的变换，既有类似于傅立叶变换的性质，又能克服在应用上的局限。4.1引言19世纪末，英国电气工程师赫维塞德（O.Heaviside1850-1925）发明了“运算法”（算子法）以解决运算中的问题。赫维塞德拉普拉斯赫维塞德算子法的数学基础是来源于法国数学家拉普拉斯（P.S.Laplace,1749-1825）的研究。拉普拉斯变换由此建立起来。◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的优点：（1）问题求解简化；初始条件被自动计入，应用更加普遍;（2）把微分、积分方程转化为代数方程；（3）将复杂函数转化为简单的初等函数；（4）将卷积转化为乘法运算;（5）利用系统函数零、极点分布可以简明描述系统性能.◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换在第3章中知道，有些函数不满足绝对可积的条件，使求解傅立叶变换困难。为此，引入一衰减因子（为实常数）乘以信号。te)(tf001)(tettft00)()(tetetftt)(tft01te)(tutetetf)(t01)(tuette)(◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换不难看出，只要选取，则信号在时间正、负方向上信号幅度趋近于0，从而使的傅立叶变换存在。0tetf)(tetf)(dteetfetfFjFtjttb)(])([)(dtetftj)()(于是有◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS相应的傅立叶逆变换为dejFtftjb)()(21)(,js令则jddsdtetfsFstb)()(则有jjstbdsesFjtf)(21)(双边拉普拉斯变换对4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域dtetfjFtjb)()()(◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMSdtetfsFtfLstb)()()(dsesFjtfsFLjjstbb)(21)()(1将上两式记为4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域)(sFb——的双边拉氏变换或象函数)(tf)(tf——的双边拉氏逆变换或原函数)(sFb拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：（变量t、都是实数）即：傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMSFT:时域函数频域函数)(jF)(tf变量t变量变量t变量s（复频率）t（实数）（复数）jsLT:时域函数复频域函数)(sF)(tf4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS二、双边拉普拉斯变换及其收敛域当函数乘以一衰减因子后，只有满足一定的条件，才能使信号收敛，其积分存在，它的拉普拉斯变换才存在。)(tfte)(tf使存在的取值范围，称为双边拉普拉斯变换的收敛域。)(sFb4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域)(sFb下面举例说明的收敛问题。)(sFbj0◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS例题4-2-1已知因果信号，求其拉氏变换。)()(1tuetft解：dtedteesFtssttb0)(01)(0)()(sets]lim1[1)(tjttees收敛域收敛边界可见，对于因果信号，仅当时，其拉氏变换存在。]Re[s,1s]Re[s不定无界4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域收敛坐标j0◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS例题4-2-2反因果信号，求其拉氏变换。)()(2tuetft解：dtedteesFtssttb0)(02)(0)()(sets]lim1[1)(tjttees,)(1s]Re[s不定无界可见，对反因果信号，仅当时，其拉氏变换存在。]Re[s4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS例题4-2-3双边信号如下，求其拉氏变换。00)(tetetftt解：)()()(21sFsFsFbbb其双边拉氏变换为4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域dteedteesFsttsttb00)(0)(0)(11tstseses当时,上式第一项存在；当时，上式第二项存在.]Re[s]Re[s◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS仅当时，其收敛域为的一个带状区域。j04.2拉普拉斯变换的定义、收敛域))((11)(sssssFb)(◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS例题4-2-4求下列双边信号的拉氏变换。),()()(231tuetuetftt)()()(232tuetuetftt)()()(233tuetuetftt解：)2(2131)()(11sssFtfb2211()()(3)32bftFsss)23(2131)()(33sssFtfb可见，原函数不同，象函数相同，但收敛域不同。所以双边拉氏变换必须标明收敛域。4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS结论：（1）对于双边拉普拉斯变换，象函数Fb(s)和收敛域共同确定原函数f(t)。（2）不同的信号f(t)可以有相同的Fb(s)，但它们的收敛域不同；不同的信号如果有相同的收敛域，则它们的Fb(s)也不同。4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS三、单边拉普拉斯变换实际应用中所讨论的信号都有初始时刻，一般设t0时，f(t)=0。从而拉氏变换写为dtetfsFst0)()(jjstdsesFjtf)(21)(单边拉普拉斯变换4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域[注意]：积分下限取为0-是考虑到f(t)中可能包含冲激函数其各阶导数。◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS单边拉普拉斯变换存在定理：4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域如果函数f(t)满足：（1）在有限区间（其中）内可积；btabta0)(0)(lim0ttetf（2）对于某一有0则对于，f(t)的拉氏变换一定存在。0]Re[s[表明]：满足条件（1）和（2）的因果函数f(t)存在拉氏变换，其收敛域为的右半平面。0]Re[s称为收敛坐标,与f(t)性质有关。lim0,(0)tttelim0,(0)nttte0j例如：ttf)(1nttf)(2◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域收敛域也就是说：单边拉氏变换的收敛域为平行于轴的一条收敛轴的右边区域，即j0]Re[s)(,0limtttee0j)0()(3tetf例如◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域例题4-2-5求下列矩形脉冲信号的拉氏变换001)2()(ttgtf其它解:信号f(t)显然可积，而且，无论取任何值，都有0)(f)(0)(limttetf即其收敛域为]Re[sses1dtedtetftfLstst00)()]([则[结论]：仅在有限区间不等于0，而在该区间外为0的可积信号，其拉氏变换在全s平面收敛。ba0◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS四、常用函数的拉普拉斯变换1、阶跃函数001)(ssedtetuLstst2、指数函数dteeeLstatat0sasaetsa10)()(a4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS3、函数dtettLstnn0][ntdtetsneststnstn010dtetsnstn01322][stL][][1nntLsntL所以,1][2stL容易求得1!][nnsntL则4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS必须注意的是：所讨论的单边拉氏变换是从0点开始积分，因此，t0区间的函数值与变换结果无关。)(1tft0ate)(2tft0ate)(3tft0ateate上3个函数具有相同的拉氏变换式assF1)(4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域)0(]1[1teasLat而即单边拉氏变换所具有的特点！◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS4、冲激函数01)()(dtettLst0000)()(ststedtettttL如果冲激函数出现在t=t0（t00）时刻，则有4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域5、复指数函数tsetf0)(,10000ssdteeeLsttsts]Re[]Re[0ssjs0如果，则得虚指数函数的拉氏变换为,1][jseLj,1][jseLj0]Re[s◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯变换的性质4.3拉普拉斯变换的性质一、线性特性（linearity）)()(),()(2211sFtfLsFtfL设K1、K2为常数，如果)()()()(22112211sFKsFKtfKtfKL则),max(]Re[21s◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯变换的性质线性举例例题4-3-1求的拉氏变换)()sin()(tuttf)(21)sin(tjtjeejt)11(21][21)][sin(jsjsjeeLjtLtjtj22s解：22)][cos(sstL同样可求得◇鲁东大学电子与电气工程学院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯变